Eigenvektoren einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Ax = b
A = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 4 \\ 4 & 2 & 1 \\ 2 & t & 3 }
[/mm]
b = [mm] \pmat{ 5 \\ 5 \\ 5 } [/mm]
Eigenvektoren berechnen. |
| Aufgabe 2 | C = [mm] A^{6}
[/mm]
Berechnen der Determinante von [mm] (C^{2}) [/mm] und [mm] det(AC^{-1}) [/mm] |
Ich habe mit der Cramerschen Regel die Eigenvektoren:
x1 = 1, x2 = 0, x3 = 1 herausbekommen, jedoch war dies falsch da ich mit der Stufenform noch mehr Lösungen herausbekommen hätte. Nur weiß ich nicht wie dies gehen soll.
Danke
Bei der 2. Aufgabe habe ich versucht [mm] (A^{3})^{2} [/mm] zu rechnen, aber dieses dauerte ewig und brachte nur ein riesen Ergebnis. Was kann ich hier tun?
Danke
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/199989,0.html
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Hallo!
Was du da schreibst, ist etwas unglücklich formuliert, denn ein Vektor ist ein einziges Objekt mit mehreren Komponenten. Vermutlich meinst du, daß du EINEN Eigenvektor [mm] \vektor{x_\\x_2\\x_3} [/mm] gefunden hast, denn deine [mm] x_i [/mm] sind nunmal skalare Zahlen.
Wenn du eine 3x3-Matrix hast, bekommst du bist zu drei Eigenvektoren. Dazu gehören die Eigenwerte, die meist mit [mm] \lambda [/mm] bezeichnet werden.
Daran kommt man nun so:
[mm] $A\vec x=\lambda \vec [/mm] x$
[mm] $A\vec x=\lambda [/mm] E [mm] \vec [/mm] x$ mit E: Einheitsmatrix
[mm] $A\vec x-\lambda [/mm] E [mm] \vec x=\vec [/mm] 0$
[mm] $(A-\lambda [/mm] E) [mm] \vec x=\vec [/mm] 0$
dabei ist [mm] $(A-\lambda [/mm] E)= [mm] \pmat{ 1-\lambda & 2 & 4 \\ 4 & 2-\lambda & 1 \\ 2 & t & 3-\lambda } [/mm] $
Das ist dann erfüllt, wenn [mm] $det(A-\lambda [/mm] E)=0$ ist.
Dies ist ein Polynom 3. grades, dessen Nullstellen [mm] \lambda [/mm] du berechnen mußt.
Für jedes [mm] \lambda [/mm] schreibst du dann die Gleichung [mm] $A\vec x=\lambda \vec [/mm] x$ hin, und löst sie nach Gauß oder ähnlichem.
Etwas erschwerend kommt bei deiner Matrix hinzu, daß die von einem Parameter t abhängt, und somit sind vermutlich deine [mm] \lambda [/mm] keine einfachen Zahlen.
Mir scheint, du hast versucht, irgendwas aus Ax=b auszurechnen, aber diese Gleichung hat nix mit Eigenvektoren zu tun, sondern nur das A.
Zur b)
Hier solltest du nicht versuchen, [mm] A^6 [/mm] (oder schlimmeres) auszurechnen. Vielmehr solltest du die Gesetze für Determinanten anwenden, und da gilt z.B. [mm] $det(A\cdot B)=det(A)\cdot [/mm] det(B)$. Wenn ich es grade richtig überblicke, gilt unter bestimmten Voraussetzungen auch [mm] det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}
[/mm]
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Vielen vielen Dank, ich habe soweit alles verstanden nur folgendes habe ich nicht durchschaut.
Für jedes $ [mm] \lambda [/mm] $ schreibst du dann die Gleichung $ [mm] A\vec x=\lambda \vec [/mm] x $ hin, und löst sie nach Gauß oder ähnlichem.
Danke vielmals.
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Hi,
fangen wir doch erstmal langsam an. Was hast du denn für Ergebnisse für [mm] \lambda [/mm] herausbekommen?
Grüße Patrick
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Soweit komm ich noch gar nicht.
Ich habe folgendes aufgestellt gebracht:
[mm] -\lambda^{3}+6\lambda^{2}+14\lambda+t\lambda-30+15t
[/mm]
doch wie löse ich das auf?
Für was ist denn dann eigentlich das b in der Aufgabe?
Danke vielmals
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Hi,
mein charakteristisches Polynom ist:
[mm] \\p_{A}(x)=x³-6x²-5x-tx+30-15t=x³-6x²-x(5+t)+15(2-t)
[/mm]
Und das jetzt [mm] \\0 [/mm] setzen um die Eigenwerte zu bekommen.
Kannst du auch dann evtl die komplette Aufgabenstellung posten denn ich glaube kaum dass sie so aufm Übungsblatt stand.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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Oh sorry ich habe nochmal nachgeschaut und man sollte nur das Gleichungssystem lösen und keine Eigenvektoren machen.
Habe hierzu dann die Cramerschen Regelen benutzt.
Aber wie gesagt nur [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] als Ergebnis erhalten.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:05 Mi 08.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Oh sorry ich habe nochmal nachgeschaut und man sollte nur
> das Gleichungssystem lösen und keine Eigenvektoren machen.
> Habe hierzu dann die Cramerschen Regelen benutzt.
> Aber wie gesagt nur [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm] als Ergebnis
> erhalten.
Nur für t [mm] \not= [/mm] 2 ist das Gleichungssystem eindeutig lösbar ! In diesem Fall ist Deine Lösung richtig
Für t = 2 ist z. B. [mm] \vektor{0 \\ 5/2 \\ 0} [/mm] eine Lösung. Versuche mal alle Lösungen zu berechnen
FRED
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Also ich komm soweit:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 4 \\ 0 & -6 & -15 \\ 0 & t-4 & -5}
[/mm]
hieraus erstelle ich folgende Gleichungen:
(t-4)x2 - 5x3 = 5 (die =5 aus dem b) und
-6x2 - 15x3 = 5
aber wie komme ich jetzt auf ein Ergebnis?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:16 Mi 08.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Du mußt doch nur noch den Fall t = 2 untersuchen!!!!!
Für t [mm] \not=2 [/mm] ist die Determinante der Matrix [mm] \not= [/mm] 0, das LGS ist also eindeutig lösbar, die Lösung hast Du auch schon.
FRED
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Irgendwie steh ich auf dem Schlauch,
wie komme ich denn auf das t = 2 bzw. [mm] \not= [/mm] 2?
müsste das nicht t = 4 sein?
Hat das Gleichungssystem dann nicht 1 Lösung für t = 4, weil es dann den Vektor [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] als Lösung gibt und für t [mm] \not= [/mm] 4 unendlich viele Lösungen.
Wie gibt man denn dann diese unendlich viele Lösungen an?
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Hallo KarelMaier,
> Irgendwie steh ich auf dem Schlauch,
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> wie komme ich denn auf das t = 2 bzw. [mm]\not=[/mm] 2?
>
> müsste das nicht t = 4 sein?
Nein, bringe doch mal das LGS [mm] $(A\mid [/mm] b)$ in Zeilenstufenform, daran siehst du sofort, dass $A$ und die erweiterte Koeffizientenmatrix [mm] $(A\mid [/mm] b)$ für jedes $t$ denselben Rang haben, das LGS also für jedes $t$ lösbar ist
Anhand der Zeilenstufenform kannst du auch ablesen, dass es für alle [mm] $t\neq [/mm] 2$ eine eindeutige Lösung gibt.
Weiter kannst du ablesen, dass für $t=2$ in der letzten Zeile $0=0$ steht, es also 2 Gleichungen in 3 Variablen verbleiben und du folglich unendlich viele Lösungen hast ...
>
> Hat das Gleichungssystem dann nicht 1 Lösung für t = 4,
Ja, eine eindeutige Lösung!
> weil es dann den Vektor [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm] als Lösung
> gibt ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") und für t [mm]\not=[/mm] 4 unendlich viele Lösungen. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Wie gibt man denn dann diese unendlich viele Lösungen an?
Für $t=2$ erhältst du wie gesagt eine Nullzeile, du hast also einen freien parameter, setzt meinetwegen [mm] $x_3=\lambda$ [/mm] mit [mm] $\lambda\in\IR$ [/mm] und berechne aus den verbleibenden 2 Gleichungen die Lösungen für [mm] $x_1,x_2$ [/mm] in Abhängigkeit von diesem [mm] $\lambda$
[/mm]
LG
schachuzipus
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