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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenvektoren einer Matrix
Eigenvektoren einer Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eigenvektoren einer Matrix: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:18 Di 30.12.2008
Autor: original_tom

Aufgabe
Man ermittle die Eigenwerte und -vektoren der Matrix A.

A= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -2 } [/mm]

Hallo,

ich habe folgende Eigenwerte und Eigenvektoren errechnet:

[mm] P(\lambda) [/mm] = [mm] -\lambda^{3} [/mm] + 7 [mm] \lambda [/mm] -6 = 0

[mm] \lambda_{1}=1 [/mm] , [mm] \lambda_{2}=2 [/mm] , [mm] \lambda_{3}=-3 [/mm]

Eigenvektor für [mm] \lambda_{1}=1 [/mm] :

[mm] \pmat{ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -3 } [/mm] *  [mm] \vektor{\alpha \\ \beta \\ \gamma} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm]

ZFS d. Matrix

[mm] \pmat{ 2 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] ich setze [mm] \gamma [/mm] = t [mm] \in \IR [/mm] und erhalte als Lösung

[mm] v_{1} [/mm] = t * [mm] \vektor{\bruch{3}{2} \\ 2 \\ 1}, [/mm] t [mm] \in \IR [/mm]  also [mm] E_{1}=L\{ \vektor{\bruch{3}{2} \\ 2 \\ 1} \} [/mm]

und analog für die anderen beiden Eigenwerte:

[mm] E_{2}=L\{ \vektor{2 \\ 0 \\ 1} \} [/mm]
[mm] E_{3}=L\{ \vektor{-1/2 \\ 0 \\ 1} \} [/mm]

Sind die so richtig berechnet? Bzw, gibts eine Methode mit der ich das selbst pürfen kann?


mfg tom

        
Bezug
Eigenvektoren einer Matrix: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:30 Di 30.12.2008
Autor: clwoe

Hallo,

deine Eigenwerte stimmen!

Aber der Eigenvektor zum Eigenwert [mm] \lambda_{1}=1 [/mm] stimmt nicht.

Dies kannst du auch daran erkennen, das Eigenvektoren von verschiedenen Eigenwerten immer orthogonal zueinander sein müssen. Bei dir ist aber der Eigenvektor [mm] v_{1} [/mm] weder zu [mm] v_{2} [/mm] noch zu [mm] v_{3} [/mm] orthogonal.
Dagegen sind [mm] v_{2} [/mm] und [mm] v_{3} [/mm] zueinander orthogonal, denn hier stimmen die Eigenvektoren auch.

Gruß,
clwoe


Bezug
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