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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:11 Di 20.11.2007 | | Autor: | Sayu |
| Aufgabe | | man berechne die Eigenwerte und zugehörigen Eigenräume für folgende (2x2)-Matritzen |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe leider ein kleines Problem und komme nicht weiter. Eine der oben genannten Matritzen ist
[mm] A=\pmat{ 0 & 1 \\ 4 & 3 }
[/mm]
davon habe ich schon das charakteristische Polinom [mm] \lambda^2-3\lambda-4
[/mm]
die Eigenwerte: [mm] \lambda1=4
[/mm]
[mm] \lambda2=-1 [/mm] herausbekommen.
Wie genau kann ich daraus jetzt die Eigenvektoren bestimmen ? Weis mit der Formel [mm] (A-\lambdaI)b=0 [/mm] nicht wirklich was anzufangen
2. Habe ich in vielen Büchern etwas von einem "Freiheitsgrad" gelesen, was ist das genau?
und
3. Was soll mir das "Normalisieren" sagen?
Vielen Dank schon mal im vorraus!!!!!!
Kristin
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Hallo Kristin,
> man berechne die Eigenwerte und zugehörigen Eigenräume für
> folgende (2x2)-Matritzen
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
> ich habe leider ein kleines Problem und komme nicht weiter.
> Eine der oben genannten Matritzen ist
> [mm] A=\pmat{ 0 & 1 \\ 4 & 3 }
[/mm]
> davon habe ich schon das
> charakteristische Polinom [mm] \lambda^2-3\lambda-4
[/mm]
> die Eigenwerte: [mm] \lambda1=4
[/mm]
> [mm] \lambda2=-1 [/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> herausbekommen.
>
> Wie genau kann ich daraus jetzt die Eigenvektoren bestimmen
> ? Weis mit der Formel [mm] (A-\lambda [/mm] I)b=0 nicht wirklich was
> anzufangen
Du musst für jeden der Eigenwerte [mm] \lambda_1,\lambda_2 [/mm] das Gleichungssystem [mm] (A-\lambda_i\cdot{}I_2)\cdot{}b=0 [/mm] lösen, wobei [mm] $b=\vektor{b_1\\b_2}$ [/mm] ist, also den Kern der Matrix [mm] (A-\lambda_i \cdot{} I_2) [/mm] bestimmen
Mal zu [mm] \lambda_1=4
[/mm]
Wie sieht [mm] A-\lambda_1\cdot{} I_2 [/mm] aus?
[mm] A-4\cdot{} I_2=\pmat{ 0 & 1 \\ 4 & 3 }-\pmat{ 4 & 0 \\ 0 & 4 }=\pmat{ -4 & 1 \\ 4 & -1 }
[/mm]
Bringe das in Zeilenstufenform, dann hast du den Kern von [mm] A-4\cdot{} I_2
[/mm]
Nimm daraus einen beliebigen Vektor [mm] \neq [/mm] 0 heraus, das ist dann ein Eigenvektor zu [mm] \lambda_1=4
[/mm]
Analog für den anderen Eigenwert [mm] \lambda_2=-1
[/mm]
> 2. Habe ich in vielen Büchern etwas von einem
> "Freiheitsgrad" gelesen, was ist das genau?
Das ist die Anzahl der frei wählbaren Parameter bei der Bestimmung der Lösung eines GS, hier des Kerns von [mm] A-\lambda_i \cdot{} I_2
[/mm]
Wenn du die Rechnungen mal machst, wirst du sehen, dass du in beiden Fällen eine Nullzeile erhältst, somit also 1 Freiheitsgrad, einen frei wählbaren Parameter hast (zB [mm] $b_2=t$ [/mm] mit [mm] $t\in\IR$) [/mm]
> und
> 3. Was soll mir das "Normalisieren" sagen? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Keine Ahnung, in welchem Zusammenhang denn?
>
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>
>
> Vielen Dank schon mal im vorraus!!!!!!
>
> Kristin
LG
schachuzipus
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