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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:16 Di 15.04.2008 | | Autor: | tobe |
| Aufgabe | Bestimmen sie die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren
A= [mm] \bruch{1}{11}\pmat{ -7 & 6 & 6 \\ 6 & -2 & 9 \\ 6 & 9 & -2 }
[/mm]
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Hier bin ich wieder :D
Die eigenwerte berechne ich ja durch det(A- [mm] \lambda [/mm] I)=0
Ich kann ja hier also [mm] \bruch{1}{11} \vmat{ -7-\lambda & 6 & 6 \\ 6 & -2-\lambda & 9 \\ 6 & 9 & -2-\lambda } [/mm] rechnen oder?
Da ich keinen Taschenrechner verwende, wird die ganze Angelegenheit etwas schwerer die Nullstellen zu berechnen. Gibt es da irgend welche Tips?
Kann ich bevor ich det(A- [mm] \lambda [/mm] I) bilde die Matrix A durch zeilen und spalten addition verändern, sodass nicht so große Zahlen raus kommen? Oder bleibt mir nur der mühsame weg das ganze auszurechnen bis ich meine [mm] \lambda^{3} [/mm] funktion habe, dann ewig durch einsetzen eine Nullstelle zu finden und dann schließlich polynomdivision betreiben?
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Hallo tobe,
> Bestimmen sie die Eigenwerte und die zugehörigen
> Eigenvektoren
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> A= [mm]\bruch{1}{11}\pmat{ -7 & 6 & 6 \\ 6 & -2 & 9 \\ 6 & 9 & -2 }[/mm]
>
>
> Hier bin ich wieder :D
>
> Die eigenwerte berechne ich ja durch det(A- [mm]\lambda[/mm] I)=0
> Ich kann ja hier also [mm]\bruch{1}{11} \vmat{ -7-\lambda & 6 & 6 \\ 6 & -2-\lambda & 9 \\ 6 & 9 & -2-\lambda }[/mm]
> rechnen oder?
Leider nicht, denn
[mm]\bruch{1}{11}\pmat{ -7-\lambda & 6 & 6 \\ 6 & -2-\lambda & 9 \\ 6 & 9 & -2-\lambda } \not= \bruch{1}{11} * \pmat{ -7 & 6 & 6 \\ 6 & -2 & 9 \\ 6 & 9 & -2} - \lambda *\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
>
> Da ich keinen Taschenrechner verwende, wird die ganze
> Angelegenheit etwas schwerer die Nullstellen zu berechnen.
Wird sie nicht.
> Gibt es da irgend welche Tips?
In der Regel probiert man bei Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten sämtliche Teiler des Absolutgliedes aus.
> Kann ich bevor ich det(A- [mm]\lambda[/mm] I) bilde die Matrix A
> durch zeilen und spalten addition verändern, sodass nicht
> so große Zahlen raus kommen? Oder bleibt mir nur der
> mühsame weg das ganze auszurechnen bis ich meine
> [mm]\lambda^{3}[/mm] funktion habe, dann ewig durch einsetzen eine
> Nullstelle zu finden und dann schließlich polynomdivision
> betreiben?
Du kannst den Gauß-Algorithmus sogar auf diese Matrix anwenden.
Gruß
MathePower
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> Oder bleibt mir nur der
> mühsame weg das ganze auszurechnen bis ich meine
> [mm]\lambda^{3}[/mm] funktion habe,
Hallo,
als großartigen Trick will ich's jetzt nicht bezeichnen, aber oft ist es sinnvoll, wenn man nach den Hinschreiben der Determinante nicht gleich die ganzen Klammern auflöst, sondern mal schaut, wo man einen gemeinsamen Term ausklammern kann, das macht das Rechnen oftmals einfacher.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:52 Di 15.04.2008 | | Autor: | tobe |
Ich rechne mich hier dumm und dämlich mir irgend welchen Brüchen. Das hat so keinen SInn!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:02 Di 15.04.2008 | | Autor: | MathePower |
Hallo tobe,
> Ich rechne mich hier dumm und dämlich mir irgend welchen
> Brüchen. Das hat so keinen SInn!
Du kannst ja auch
[mm]\vmat{ \pmat{ -7 & 6 & 6 \\ 6 & -2 & 9 \\ 6 & 9 & -2 } -11*\lambda*\pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1}}[/mm] berechnen.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:32 Di 15.04.2008 | | Autor: | tobe |
Mehr als eine Nullstelle ist irgendwie nicht drin :D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:39 Di 15.04.2008 | | Autor: | MathePower |
Hallo tobe,
> Mehr als eine Nullstelle ist irgendwie nicht drin :D
Rechne nochmal nach.
Alle Nullstellen sind reell.
Gruß
MathePower
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