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Hallo,
ich habe eine Frage zu einer Aufgabe.
Aufgabe: Es seien V ein endlichdimensionaler [mm] \IC-Vektorraum [/mm] und [mm] \Phi \in [/mm] End(V) mit [mm] \Phi^4 [/mm] = [mm] Id_V. [/mm] Zeigen Sie:
Ist 1 ein Eigenwert von [mm] \Phi, [/mm] so ist der Endomorphismus [mm] \produkt [/mm] := [mm] \frac{1}{4}(id_V [/mm] + [mm] \Phi [/mm] + [mm] \Phi^2 [/mm] + [mm] \Phi^3) [/mm] eine Projektion auf den Eigenraum von [mm] \Phi [/mm] zum Eigenwert 1.
Meine Lösung:
Wenn [mm] \produkt [/mm] eine Projektion sein soll, so muss gelten [mm] \produkt [/mm] = [mm] \produkt^2. [/mm] Richtig?
Da [mm] \produkt [/mm] angeblich eine Projektion auf den Eigenraum von [mm] \Phi [/mm] zum Eigenwert 1 ist muss [mm] \produkt [/mm] = [mm] \produkt^2 [/mm] nur für Vektoren aus dem Eigenraum zum Eigenwert 1 gelten. Richtig?
Daher meine Überlegung:
Mit [mm] E_1 [/mm] bezeichne ich den Eigenraum zum Eigenwert 1. Für [mm] E_1 [/mm] gilt:
[mm] E_1 [/mm] = [mm] Kern(\Phi [/mm] - [mm] id_v [/mm] * 1) = [mm] Kern(\Phi [/mm] - [mm] id_v)
[/mm]
Jetzt zeige ich, dass für alle v [mm] \in E_1 [/mm] die Gleichung [mm] \produkt [/mm] = [mm] \produkt^2 [/mm] gilt.
Ach übrigens: Für v [mm] \in E_1 [/mm] gilt [mm] \Phi(v) [/mm] - [mm] id_V(v) [/mm] = v - v = 0 [mm] \Rightarrow \Phi(v) [/mm] = v.
Also: [mm] \produkt(v) [/mm] = [mm] \frac{1}{4}(id_V(v) [/mm] + [mm] \Phi(v) [/mm] + [mm] \Phi^2(v) [/mm] + [mm] \Phi^3(v)) [/mm] = [mm] \frac{1}{4}(v [/mm] + v + [mm] \Phi(\Phi(v)) [/mm] + [mm] \Phi(\Phi(\Phi(v)))) [/mm] = [mm] \frac{1}{4}(v [/mm] + v + v + v) = [mm] \frac{1}{4}(4v) [/mm] = v
Jetzt berechne ich [mm] \produkt^2(v):
[/mm]
[mm] \produkt^2(v) [/mm] = [mm] \frac{1}{16}(id_V(v) [/mm] + [mm] \Phi(v) [/mm] + [mm] \Phi^2(v) [/mm] + [mm] \Phi^3(v))(id_V(v) [/mm] + [mm] \Phi(v) [/mm] + [mm] \Phi^2(v) [/mm] + [mm] \Phi^3(v)) [/mm] = [mm] \frac{1}{16}(4v)(4v) [/mm] = [mm] \frac{1}{16}(16v^2) [/mm] = [mm] v^2.
[/mm]
Ups. [mm] \produkt^2(v) [/mm] sollte doch gleich [mm] \produkt(v) [/mm] sein. Aber v [mm] \not= v^2.
[/mm]
Wo ist mein Fehler? Die Musterlösung hat übrigens einen ganz anderen Ansatz...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
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> ich habe eine Frage zu einer Aufgabe.
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> Aufgabe: Es seien V ein endlichdimensionaler [mm]\IC-Vektorraum[/mm]
> und [mm]\Phi \in[/mm] End(V) mit [mm]\Phi^4[/mm] = [mm]Id_V.[/mm] Zeigen Sie:
>
> Ist 1 ein Eigenwert von [mm]\Phi,[/mm] so ist der Endomorphismus
> [mm]\produkt[/mm] := [mm]\frac{1}{4}(id_V[/mm] + [mm]\Phi[/mm] + [mm]\Phi^2[/mm] + [mm]\Phi^3)[/mm] eine
> Projektion auf den Eigenraum von [mm]\Phi[/mm] zum Eigenwert 1.
>
> Meine Lösung:
> Wenn [mm]\produkt[/mm] eine Projektion sein soll, so muss gelten
> [mm]\produkt[/mm] = [mm]\produkt^2.[/mm] Richtig?
>
> Da [mm]\produkt[/mm] angeblich eine Projektion auf den Eigenraum von
> [mm]\Phi[/mm] zum Eigenwert 1 ist muss [mm]\produkt[/mm] = [mm]\produkt^2[/mm] nur für
> Vektoren aus dem Eigenraum zum Eigenwert 1 gelten.
> Richtig?
>
Hallo,
nein das stimmt nicht.
[mm] \pi [/mm] ist eine Abbildung aus dem V in den V, und wenn es eine Projektion ist, muß [mm] \pi=\pi^2 [/mm] gelten für alle [mm] v\in [/mm] V.
Projektion auf [mm] E_1 [/mm] bedeutet, daß das Bild von [mm] \pi [/mm] gerade [mm] E_1 [/mm] sein soll.
> Daher meine Überlegung:
>
> Mit [mm]E_1[/mm] bezeichne ich den Eigenraum zum Eigenwert 1. Für
> [mm]E_1[/mm] gilt:
>
> [mm]E_1[/mm] = [mm]Kern(\Phi[/mm] - [mm]id_v[/mm] * 1) = [mm]Kern(\Phi[/mm] - [mm]id_v)[/mm]
>
> Jetzt zeige ich, dass für alle v [mm]\in E_1[/mm] die Gleichung
> [mm]\produkt[/mm] = [mm]\produkt^2[/mm] gilt.
>
> Ach übrigens: Für v [mm]\in E_1[/mm] gilt [mm]\Phi(v)[/mm] - [mm]id_V(v)[/mm] = v - v
> = 0 [mm]\Rightarrow \Phi(v)[/mm] = v.
>
> Also: [mm]\produkt(v)[/mm] = [mm]\frac{1}{4}(id_V(v)[/mm] + [mm]\Phi(v)[/mm] +
> [mm]\Phi^2(v)[/mm] + [mm]\Phi^3(v))[/mm] = [mm]\frac{1}{4}(v[/mm] + v + [mm]\Phi(\Phi(v))[/mm]
> + [mm]\Phi(\Phi(\Phi(v))))[/mm] = [mm]\frac{1}{4}(v[/mm] + v + v + v) =
> [mm]\frac{1}{4}(4v)[/mm] = v
>
> Jetzt berechne ich [mm]\produkt^2(v):[/mm]
>
> [mm]\produkt^2(v)[/mm] = [mm]\frac{1}{16}(id_V(v)[/mm] + [mm]\Phi(v)[/mm] + [mm]\Phi^2(v)[/mm]
> + [mm]\Phi^3(v))(id_V(v)[/mm] + [mm]\Phi(v)[/mm] + [mm]\Phi^2(v)[/mm] + [mm]\Phi^3(v))[/mm] =
> [mm]\frac{1}{16}(4v)(4v)[/mm] = [mm]\frac{1}{16}(16v^2)[/mm] = [mm]v^2.[/mm]
>
> Ups. [mm]\produkt^2(v)[/mm] sollte doch gleich [mm]\produkt(v)[/mm] sein.
> Aber v [mm]\not= v^2.[/mm]
>
> Wo ist mein Fehler?
Hast Du Dir schon Gedanken darüber gemacht, was Du mit [mm] v^2 [/mm] eigentlich meinst? Spätestens an dieser Stelle solltest Du eigentlich stutzig werden...
Der Fehler liegt bei [mm] \pi^2(v). [/mm] Damit ist keinesfalls [mm] \pi(v)*(\pi(v)) [/mm] gemeint. Was sollte das auch sein?
Es ist doch [mm] \pi^2=\pi\circ\pi, [/mm] also [mm] \pi^2(v)=\pi(\pi(v)).
[/mm]
Gruß v. Angela
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