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| Aufgabe | Es sei f ein Endomorphismus des K-Vektorraums V.
(a) Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Eigenwerten und Eigenvektoren f und [mm] f^{-1}, [/mm] wenn f ein Isomorphismus ist?
(b) Welche Eigenwerte kann f haben, wenn [mm] f^{2}=id_{V} [/mm] gilt?
(c) Welche Eigenwerte kann f haben, wenn [mm] f^{3}=f [/mm] gilt? |
zu (a) ich habe den Zusammenhang: Wenn x Eigenwert von f ist, dann ist 1/x Eigenwert von [mm] f^{-1} [/mm] und umgekehrt. Das kann ich auch beweise.
(b) Ich würde sagen, dass f die Identität sein muss, somit 1 der einzige Eigenwert ist.
(c) Auch hier würde ich sagen, dass f die Identität ist und somit 1 einziger Eigenwert.
Erstmal: ist das so richtig? mein Problem ist, dass ich (b) und (c) nicht formal richtig beweisen kann. Habr ihr da nen Tipp für mich??? Vielen Dank im vorraus....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 So 15.04.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Es sei f ein Endomorphismus des K-Vektorraums V.
> (a) Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Eigenwerten
> und Eigenvektoren f und [mm]f^{-1},[/mm] wenn f ein Isomorphismus
> ist?
> (b) Welche Eigenwerte kann f haben, wenn [mm]f^{2}=id_{V}[/mm]
> gilt?
> (c) Welche Eigenwerte kann f haben, wenn [mm]f^{3}=f[/mm] gilt?
>
> zu (a) ich habe den Zusammenhang: Wenn x Eigenwert von f
> ist, dann ist 1/x Eigenwert von [mm]f^{-1}[/mm] und umgekehrt. Das
> kann ich auch beweise.
Genau. Denk daran dazuzuschreiben, warum $x [mm] \neq [/mm] 0$ ist.
> (b) Ich würde sagen, dass f die Identität sein muss, somit
> 1 der einzige Eigenwert ist.
Nein, $-id$ tut es auch. Und noch viele andere Endomorphismen wenn [mm] $\dim [/mm] V > 1$ ist.
> (c) Auch hier würde ich sagen, dass f die Identität ist und
> somit 1 einziger Eigenwert.
Hier kann $f$ zum Beispiel auch die Nullabbildung sein.
Wie man bei (b) und (c) vorgeht:
Sei [mm] $\lambda$ [/mm] ein Eigenwert und $v [mm] \in [/mm] V [mm] \setminus \{ 0 \}$ [/mm] ein zugehoeriger Eigenvektor, also $f(v) = [mm] \lambda [/mm] v$. Bei (b) ist etwa $v = id(v) = [mm] f^2(v) [/mm] = [mm] \lambda^2 [/mm] v$, also (da $v [mm] \neq [/mm] 0$) [mm] $\lambda^2 [/mm] = 1$. ...
LG Felix
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