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| Aufgabe | 1) Berechnen Sie die Eigenwerte [mm] \lambda_{i} [/mm] i=1,2
für
A= [mm] 0.5\pmat{3.5&4.5\\4.5&3.5}
[/mm]
2)Berechnen Sie
[mm] A^{3} \pmat{-1\\1}=
[/mm]
[mm] A^{10}\pmat{-1\\1}=
[/mm]
3)Bestimmen Sie die orthogonale Transformationsmatrix Q, sodass
[mm] \pmat{\lambda_{1}&0\\0&\lambda_{2}}=Q^{T}AQ
[/mm]
gilt. |
Hallo.
1)Ich soll die obigen Aufgaben berechnen:
[mm] \lambda_{1}=0.75
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=-6.25
[/mm]
2)Ich habe mir hierbei gedacht, dass ich die Matrix-Matrix Multipliatkation folgendermaßen durchführe:
[mm] A*A=A^2
[/mm]
[mm] A^2*A =A^3 [/mm]
Mein Problem ist das für A * A die Anzahl der Zeilen ungleich der Anzahl der Spalten ist.
Das Falkschema würde folgendermaßen aussehen:
-1
1
-1
1
Wie soll man denn hier vorgehen?
3) Gibt es denn hierfür einen bestimmten Rechenweg?
Leider weiß ich nicht, was ich hier machen soll.
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Do 24.05.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo!
> 1) Berechnen Sie die Eigenwerte [mm]\lambda_{i}[/mm] i=1,2
> für
>
> A= [mm]0.5\pmat{3.5&4.5\\
4.5&3.5}[/mm]
>
> 2)Berechnen Sie
> [mm]A^{3} \pmat{-1\\
1}=[/mm]
> [mm]A^{10}\pmat{-1\\
1}=[/mm]
>
> 3)Bestimmen Sie die orthogonale Transformationsmatrix Q,
> sodass
> [mm]\pmat{\lambda_{1}&0\\
0&\lambda_{2}}=Q^{T}AQ[/mm]
> gilt.
> Hallo.
>
> 1)Ich soll die obigen Aufgaben berechnen:
> [mm]\lambda_{1}=0.75[/mm]
> [mm]\lambda_{2}=-6.25[/mm]
Das stimmt nicht!
>
> 2)Ich habe mir hierbei gedacht, dass ich die Matrix-Matrix
> Multipliatkation folgendermaßen durchführe:
> [mm]A*A=A^2[/mm]
> [mm]A^2*A =A^3[/mm]
Es ist in deinem Fall - bei 2 verschiedenen Eigenwerten [mm]\lambda_1,\lambda_2[/mm] - mit Transformationsmatrix S:
[mm]S^{-1}*A*S=\pmat{ \lambda_1 & 0 \\
0 & \lambda_2 } [/mm] und somit: [mm]A=S*\pmat{ \lambda_1 & 0 \\
0 & \lambda_2 } S^{-1}[/mm], damit lässt sich [mm]A^{n}[/mm] ganz leicht berechnen.
> Mein Problem ist das für A * A die Anzahl der Zeilen
> ungleich der Anzahl der Spalten ist.
> Das Falkschema würde folgendermaßen aussehen:
> -1
> 1
>
> -1
> 1
>
> Wie soll man denn hier vorgehen?
Gruß
barsch
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Hallo und danke für die Antwort.
Ich habe einen kleinen Fehler in der Aufgabenstellung gemacht:
[mm] A=0.5\pmat{7&9\\9&7}=\pmat{3.5&4.5\\4.5\\3.5}
[/mm]
Demnach bezieht sich meine Rechnung natürlich auch auf diese Matrix.
Wenn noch einmal jemand drüberschauen würde, würde es mich freuen.
Die zwei werde ich berechnen sobald ich zu Hause bin und ebenfalls eine Lösung zur 3 suchen.
Grüße und danke für die Hilfe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Do 24.05.2012 | | Autor: | barsch |
Kurzer Nachtrag zu 3.
Wende Gram-Schmidt auf die Eigenvektoren an. Du wirst sehen, in diesem konkreten Besipiel ist es nicht sehr aufwendig.
Gruß
barsch
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:08 Do 24.05.2012 | | Autor: | barsch |
Nun gut, jetzt hat sich deine Korrektur bzgl der Ausgangsmatrix mit dieser Antwort überschnitten. Ich würde immer noch Gram-Schmidt anwenden. Ob es in diesem Fall jedoch auch so einfach ist...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:00 Do 24.05.2012 | | Autor: | Masseltof |
Hallo und danke für die Mühe.
Heute ist wirklich der Wurm drinnen.....
Grüße
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![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
- ist aber trotzdem falsch!
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eigenwert2.htm