Eigenwert einer inv. Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 Di 12.07.2011 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Zeigen Sie allgemein: Ist [mm] \lambda \in \IC [/mm] ein Eigenwert einer invertierbaren Matrix A [mm] \in \IR^{nxn}, [/mm] so ist [mm] \bruch{1}{\lambda} [/mm] ein Eigenwert von [mm] A^{-1}.
[/mm]
Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Eigenwektoren von A und [mm] A^{-1}? [/mm] |
Ich habe immer Probleme damit in Mathe irgendetwas zu zeigen.
In dieser Aufgabe soll ich zeigen, dass der Eigenwert von [mm] A^{-1}, [/mm] der inverse Eigenwert von A ist.
also:
[mm] A^{-1}g [/mm] = [mm] \bruch{1}{\lambda}g [/mm] , g [mm] \in \IR
[/mm]
Wie gehe ich weiter vor?
Was ist das Prinzip?
Worauf muss ich hinausführen?
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> Zeigen Sie allgemein: Ist [mm]\lambda \in \IC[/mm] ein Eigenwert
> einer invertierbaren Matrix A [mm]\in \IR^{nxn},[/mm] so ist
> [mm]\bruch{1}{\lambda}[/mm] ein Eigenwert von [mm]A^{-1}.[/mm]
> Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Eigenwektoren
> von A und [mm]A^{-1}?[/mm]
> Ich habe immer Probleme damit in Mathe irgendetwas zu
> zeigen.
Hallo,
am besten schreibt man sich immer erstmal fein säuberlich die Voraussetzungen auf, und dann, was zu zeigen ist.
Es ist wichtig, sich beides genau klargemacht zu haben, bevor man einen Beweis beginnt.
Das tun wir jetzt:
Voraussetzung:
A ist invertierbar, und [mm] \lambda [/mm] ist ein Eigenwert von A,
dh. es gibt ein v [mm] (\not=0) \in \IR^n [/mm] mit ...
Zu zeigen:
> In dieser Aufgabe soll ich zeigen, dass der Eigenwert von
> [mm]A^{-1},[/mm] der inverse Eigenwert von A ist.
>
> also:
> [mm]A^{-1}g[/mm] = [mm]\bruch{1}{\lambda}g[/mm] , g [mm]\in \IR[/mm]
Nein, das stimmt nicht. Dein g muß ein vom Nullvektor verschiedener Vektor des [mm] \IR^n [/mm] sein!
Also: es gibt ein [mm] g\in \IR^n [/mm] mit [mm] A^{-1}g=$\bruch{1}{\lambda}g$
[/mm]
Beweis: Sei A invertierbar und [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A.
Dann ist [mm] \lambda\not=0 [/mm] (Warum?), und es ist
... (Eigenwertbedingung von oben hinschreiben).
Jetzt multipliziere die Gleichung mal mit [mm] A^{-1}.
[/mm]
Was bekommst Du? Und weiter?
Gruß v. Angela
>
> Wie gehe ich weiter vor?
> Was ist das Prinzip?
> Worauf muss ich hinausführen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Di 12.07.2011 | | Autor: | zoj |
Beweis: Sei A invertierbar und $ [mm] \lambda [/mm] $ ein Eigenwert von A.
Dann ist $ [mm] \lambda\not=0 [/mm] $ (Warum?), und es ist
... (Eigenwertbedingung von oben hinschreiben).
Jetzt multipliziere die Gleichung mal mit $ [mm] A^{-1}. [/mm] $
Was bekommst Du? Und weiter?
Warum [mm] \lambda \not= [/mm] 0 ist, weiß ich jetzt nicht...
[mm] A^{-1}g [/mm] = [mm] \bruch{1}{\lambda}g [/mm] |mit [mm] A^{-1} [/mm] multiplizieren
[mm] A^{-1}A^{-1}g [/mm] = [mm] \bruch{1}{\lambda}gA^{-1}
[/mm]
Irgendwie sethe ich total auf em Schlauch...
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Hallo zoj,
>
> Beweis: Sei A invertierbar und [mm]\lambda[/mm] ein Eigenwert von
> A.
> Dann ist [mm]\lambda\not=0[/mm] (Warum?), und es ist
>
> ... (Eigenwertbedingung von oben hinschreiben).
>
> Jetzt multipliziere die Gleichung mal mit [mm]A^{-1}.[/mm]
> Was bekommst Du? Und weiter?
>
>
> Warum [mm]\lambda \not=[/mm] 0 ist, weiß ich jetzt nicht...
Na, nimm mal an, der Eigenwert sei [mm]\lambda=0[/mm]
Dann gehe über die Definition mit dem charakt. Polynom und führe das zu einem Widerspruch.
Dieser wird darin liegen, dass du rausbekommst, dass [mm]A[/mm] nicht invertiertbar ist, was nicht zur Voraussetzung passt.
>
> [mm]A^{-1}g[/mm] = [mm]\bruch{1}{\lambda}g[/mm] |mit [mm]A^{-1}[/mm] multiplizieren
Das solltest du nicht mit [mm]A^{-1}[/mm] multiplizieren.
Du musst dir die Hinweise genauer durchlesen.
Du hast als Vor., dass [mm]A[/mm] invertierbar ist mit Eigenwert [mm]\lambda[/mm].
Und [mm]\lambda\neq 0[/mm], wie du noch vervollständigen musst.
Das heißt per Def.: [mm]\exists g\neq\vec{0}\in\IR^n[/mm] mit [mm]A\cdot{}g=\lambda\cdot{}g[/mm]
Hier nun von links mit [mm]A^{-1}[/mm] multiplizieren.
Achte darauf, wo du hin willst ...
> [mm]A^{-1}A^{-1}g[/mm] = [mm]\bruch{1}{\lambda}gA^{-1}[/mm]
> Irgendwie sethe ich total auf em Schlauch...
>
Gruß
schachuzipus
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Es ist ganz normal, dass man bei solchen Aufgaben nichts sieht, das wird erst mit der Übung besser.
In solch einem Fall musst du dich nur fragen: Was weiß ich über die inverse Matrix A? Das einzige ist doch, dass [mm] A^{-1}A=AA^{-1}=E [/mm] ist. Was weißt du über einen Eigenwert [mm] \lambda? [/mm] Dass es einen Vektor x gibt, so dass Ax = [mm] \lambda [/mm] x ist.
Also musst du nun diese beiden Erkenntnisse irgendwie miteinander kombinieren. Und da es nur ein paar logische Möglichkeiten gibt, kommst du schnell automatisch zum Ziel.
Merk dir dieses allgemeine Vorgehen auch für andere Fälle.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Di 12.07.2011 | | Autor: | zoj |
Ich glaube ich hab's.
Also, die Ausgangsgleichung ist:
Ax = [mm] \lambda*x [/mm] für x [mm] \in \IR^{n} [/mm] (da Vektor)
Ich will zeigen:
[mm] \bruch{1}{\lambda}x [/mm] = [mm] x*A^{-1}
[/mm]
Nun forme ich um:
[mm] A^{-1}Ax [/mm] = [mm] \lambda*x*A^{-1}
[/mm]
x = [mm] \lambda [/mm] * x [mm] *A^{-1} [/mm] | durch [mm] \lambda [/mm] teilen
[mm] \bruch{1}{\lambda}x [/mm] = [mm] x*A^{-1}
[/mm]
Ist das soweit in Ordnung?
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Hallo nochmal,
> Ich glaube ich hab's.
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> Also, die Ausgangsgleichung ist:
> Ax = [mm]\lambda*x[/mm] für x [mm]\in \IR^{n}[/mm] (da Vektor) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Genauso!
>
> Ich will zeigen:
> [mm]\bruch{1}{\lambda}x[/mm] = [mm]x*A^{-1}[/mm]
Nein, die rechte Seite [mm]x\cdot{}A^{-1}[/mm] ist nicht definiert!!
Du willst zeigen: [mm]\frac{1}{\lambda}\cdot{}x=A^{-1}\cdot{}x[/mm]
Nicht umsonst hatte ich geschrieben, dass du mit [mm]A^{-1}[/mm] von links multiplizieren sollst!
>
> Nun forme ich um:
> [mm]A^{-1}Ax[/mm] = [mm]\lambda*x*A^{-1}[/mm]
> x = [mm]\lambda[/mm] * x [mm]*A^{-1}[/mm] | durch [mm]\lambda[/mm] teilen
> [mm]\bruch{1}{\lambda}x[/mm] = [mm]x*A^{-1}[/mm]
>
> Ist das soweit in Ordnung?
Wenn du das noch anpasst rechterhand mit [mm]A^{-1}\cdot{}(\lambda\cdot{}x)=\lambda\cdot{}(A^{-1}\cdot{}x)[/mm], dann passt es ...
Hast du denn den Beweis hinbekommen, dass [mm]\lambda\neq 0[/mm] ist?
Das ist ja extrem wichtig, da du ja durch [mm]\lambda[/mm] teilst hier im Beweis ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Di 12.07.2011 | | Autor: | zoj |
Zu dem [mm] \lambda \not= [/mm] 0 :
A ist invertierbar. Das heißt: [mm] A^{-1}*A [/mm] = E (Einheitsmatrix)
Das charakteristische Polynom der Einheitsmatrix ist niemals Null, da die Elemente auf der Hauptdiagonalen (Eigenwerte) [mm] \not= [/mm] 0 sind.
Deswegen würde ich folgern, dass [mm] \lambda \not= [/mm] 0 ist.
Is das OK so?
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Hallo nochmal,
> Zu dem [mm]\lambda \not=[/mm] 0 :
>
> A ist invertierbar. Das heißt: [mm]A^{-1}*A[/mm] = E
> (Einheitsmatrix)
>
> Das charakteristische Polynom der Einheitsmatrix ist
> niemals Null, da die Elemente auf der Hauptdiagonalen
> (Eigenwerte)
Wieso sollten die Hauptdiagonalelemente die Eigenwerte sein?
> [mm]\not=[/mm] 0 sind.
> Deswegen würde ich folgern, dass [mm]\lambda \not=[/mm] 0 ist.
>
> Is das OK so?
Nein, ich sehe das so nicht..
Eher:
Char.Polynom: [mm]\chi(\lambda)=0[/mm]
[mm]\gdw \operatorname{det}(A-\lambda\mathbb{E}_n)=0[/mm]
Was ist nun, wenn [mm]\lambda=0[/mm] ist?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:51 Di 12.07.2011 | | Autor: | zoj |
Wenn [mm] \lambda [/mm] = 0 ist,
bekomme ich det(A)=0
Da A eine Inverse Matrix ist, ist die Determinante von A = 1 oder -1.
Dann bleibt stehen:
+-1 = 0
und das ist ein Wiederspruch.
Wie ist es jetzt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:00 Di 12.07.2011 | | Autor: | zoj |
OK, danke für die Unterstützung!!!
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
