Eigenwert und Eigenvektor < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Sa 05.01.2008 | | Autor: | tommy987 |
| Aufgabe | a)Man ermittle die Eigenwerte und die Eigenvektoren der Matrix
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & 3} [/mm] |
Hallo!
Ich bin mal soweit gekommen, dass bei mir [mm] \lambda_{1} [/mm] = 1,3 rauskommt.
Für [mm] \lambda_{2,3} [/mm] eine komplexe Lösung von [mm] \pm j\*2,4).
[/mm]
Aber ich hab jetzt keine Ahnung, wie das mit dem Gaußschen Eleminationsverfahren funktioniert, da ich immer nur mit einachen Ausdrücken herumgerechnet habe..?
Also, wie würde das weitergehn mit Gauß?
für [mm] \lambda_{1} [/mm] = 1,3
[mm] \pmat{ 0,7 & 0 & 0 & \gamma \\ 0 & 3 & -1 & \delta \\ 0 & -1 & 3 & \mu}
[/mm]
wie komm ich hier zum Ergebnis?
lg Thomas
lg Thomas
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> a)Man ermittle die Eigenwerte und die Eigenvektoren der
> Matrix
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> [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & 3}[/mm]
> Hallo!
>
> Ich bin mal soweit gekommen, dass bei mir [mm]\lambda_{1}[/mm] = 1,3
> rauskommt.
> Für [mm]\lambda_{2,3}[/mm] eine komplexe Lösung von [mm]\pm j\*2,4).[/mm]
Hallo,
Du hast Dich verrechnet.
Die Matrix ist symmetrisch, und folglich hat sie nur reelle Eigenwerte.
>
> Aber ich hab jetzt keine Ahnung, wie das mit dem Gaußschen
> Eleminationsverfahren funktioniert,
Ich weiß nicht, was Du jetzt tun möchtest.
Die Eigenvektoren berechnen?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Sa 05.01.2008 | | Autor: | tommy987 |
Ich würde gerne zuerst die Eigenwerte [mm] \lambda [/mm] berechnen und dann die Eigenvektoren.
Also laut meiner Gleichung:
P( [mm] \lambda [/mm] ) = det( A [mm] -\lambda \* [/mm] I ) = [mm] \vmat{ 2 - \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 3 - \lambda & -1 \\ 0 & -1 & 3 - \lambda } [/mm] kommt dann Form - [mm] \lambda^{3} +8\lambda^{2} -21\lambda [/mm] + 16 = 0 raus.
Stimmt das?
lg Thomas
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> Ich würde gerne zuerst die Eigenwerte [mm]\lambda[/mm] berechnen und
> dann die Eigenvektoren.
>
> Also laut meiner Gleichung:
> P( [mm]\lambda[/mm] ) = det( A [mm]-\lambda \*[/mm] I ) = [mm]\vmat{ 2 - \lambda & 0 & 0 \\ 0 & 3 - \lambda & -1 \\ 0 & -1 & 3 - \lambda }[/mm]
> kommt dann Form - [mm]\lambda^{3} +8\lambda^{2} -21\lambda[/mm] + 16
> = 0 raus.
>
> Stimmt das?
Nein, möglicherweise ist es aber nur ein kleiner Rechenfehler.
Du machst etwas sehr Ungeschicktes: Du löst die Klammern gleich auf.
Oft ist es sinnvoll, sich die Sache erstmal mit Klammern hinzuschreiben und zu gucken, ob man was ausklammern kann - hier geht das nämlich. Das erleichtert die Nullstellenbestimmung - und ein Helfer kann sehen, ob Du beim Berechnen der Determinante etwas falsch gemacht hast.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 So 06.01.2008 | | Autor: | tommy987 |
Okay, danke! Es schaut dann so aus.
Ich habs mit der Regel von Sarrus gelöst.
(3 - [mm] \lambda [/mm] ) [mm] \* [/mm] ( 3 - [mm] \lambda [/mm] ) [mm] \* [/mm] ( 2 - [mm] \lambda [/mm] ) -(-1*-1*2) = 0
Daraus komm ich auf die Form vom oben.
Wie wärs richtig? Kann da überhaupt was schief gehn?
lg Thomas
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Hallo tommy,
> Okay, danke! Es schaut dann so aus.
> Ich habs mit der Regel von Sarrus gelöst.
>
> (3 - [mm] \lambda [/mm] ) [mm] \cdot{} [/mm] ( 3 - [mm] \lambda) \cdot{}( [/mm] 2 - [mm] \lambda)-((-1)*(-1)*\red{(2-\lambda)}) [/mm] = 0
Hier hattest du ein [mm] -\lambda [/mm] unterschlagen, im Eintrag [mm] a_{1,1} [/mm] steht ja [mm] 2-\lambda [/mm]
[mm] $\gdw (3-\lambda)^2\cdot{}(2-\lambda)-(2-\lambda)=0$
[/mm]
>
> Daraus komm ich auf die Form vom oben.
> Wie wärs richtig? Kann da überhaupt was schief gehn?
Mit der obigen Version kannst du nun [mm] (2-\lambda) [/mm] ausklammern...
> lg Thomas
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 So 06.01.2008 | | Autor: | tommy987 |
Ohh danke! Hab ich voll übersehen..
Jetzt schaut die Matrix für [mm] \lambda [/mm] = 2 so aus, bzw, nach dem Tausch der Z1 mit Z3, stimmt das?
[mm] \pmat{0 & -1 & 1 & \delta \\ 0 & 1 & -1 & \mu \\ 0 & 0 & 0 & \gamma}
[/mm]
Bzw. schaut die Matrix für [mm] \lambda [/mm] = 4 so aus, noch nicht vertausch, da ich nicht weiß, wie das hier funktioniert?
[mm] \pmat{ -2 & 0 & 0 & \gamma \\ 0 & -1 & -1 & \mu \\ 0 & -1 & -1 & \delta }
[/mm]
Soo, wie wird das Problem jetzt bei beiden Matrizen aufgelöst?
lg Thomas
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Hallo,
versuch doch bitte, Deine Texte so zu formulieren, daß nachvollziehbar wird, worum es geht.
Ich vermisse jetzt z.B., daß das charakteristische Polynom hier einmal richtig aufgeschrieben steht, sinnigerweise als Linearfaktoren.
Es würde sich dann ein Satz anschließen über die Nullstellen und der Schluß, den Du bezüglich der Eigenwerte daraus ziehst.
> Jetzt schaut die Matrix für [mm]\lambda[/mm] = 2 so aus
Welche? Du meinst sicher die Matrix [mm] (A-\lambda [/mm] E) (mit A:=$ [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & 3} [/mm] $)
> bzw, nach
> dem Tausch der Z1 mit Z3, stimmt das?
Mir ist nicht klar, wo die griechischen Buchstaben plötzlich herkommen.
Die gibt's in A doch gar nicht.
Warum tauschst Du, was hast Du vor? Das solltest Du erwähnen.
Es sind nun die Eigenvektoren zum Eigenwert 2 zu bestimmen, also der Kern der Matrix
A-2*E= [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1}.
[/mm]
Um den Kern zu bestimmen, bringt man die Matrix auf Zeilenstufenform
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1}\to \pmat{ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1\\0 & 0 & 0 }\to \pmat{ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 }.
[/mm]
Man sieht: der Rang der Matrix ist 1, also hat der Kern die Dimension 2.
Es ist nun also eine nichttriviale Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems mit dieser Koeffizientenmatrix zu bestimmen(, d.h. eine Lösung v. [mm] x_2-x_3=0).
[/mm]
Dieser Vektor ist dann ein Eigenvektor zum Eigenwert 2.
Für den Eigenwert 4 ist nun dasselbe Procedere durchzuführen.
Versuch Dich mal daran.
Vergiß nicht den Text - er ist nicht nur für den Leser, sondern auch für Dich. Man sollte jederzeit wissen, was man warum tun möchte und was man tut - dann verliert man nicht so leicht den Überblick.
Gruß v. Angela
>
> [mm]\pmat{0 & -1 & 1 & \delta \\ 0 & 1 & -1 & \mu \\ 0 & 0 & 0 & \gamma}[/mm]
>
> Bzw. schaut die Matrix für [mm]\lambda[/mm] = 4 so aus, noch nicht
> vertausch, da ich nicht weiß, wie das hier funktioniert?
>
> [mm]\pmat{ -2 & 0 & 0 & \gamma \\ 0 & -1 & -1 & \mu \\ 0 & -1 & -1 & \delta }[/mm]
>
> Soo, wie wird das Problem jetzt bei beiden Matrizen
> aufgelöst?
>
> lg Thomas
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