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| Aufgabe | Zeigen Sie für allgemeine Matrizen [mm] \IK^{nxn} [/mm] mit [mm] \IK \in {\IR, \IC}
[/mm]
[mm] ||A||_2 [/mm] := sup [mm] \{\bruch{||Ax||_2}{||x||_2} | x \in \IK^n , x \not= 0\} [/mm] = sup [mm] \{\wurzel{|\lambda|} | \lambda Eigenwert von \overline{A}^TA\}. [/mm] |
Hallo zusammen!
Diesen Beweis haben wir schon in ähnlicher Weise in der Vorlesung gehabt. Dort haben wir für hermitische Matrizen gezeigt:
[mm] ||A||_2 [/mm] = max [mm] \{|\lambda| | \lambda Eigenwert von A\}.
[/mm]
Wenn A eine algemeine Matrix ist, so ist doch [mm] \overline{A}^TA [/mm] wieder hermitisch, denn [mm] \overline{\overline{A}^TA}^T [/mm] = [mm] \overline{A^T\overline{A}^T^T} [/mm] = [mm] \overline{A^T\overline{A}} [/mm] = [mm] \overline{A^T}\overline{\overline{A}} [/mm] = [mm] \overline{A}^TA.
[/mm]
Jetzt kann ich doch die Matrix B := [mm] \overline{A}^TA [/mm] in dem Satz aus der Vorlesung benutzen und erhalte [mm] ||B||_2 [/mm] = max [mm] \{|\lambda| | \lambda Eigenwert von A\}.
[/mm]
Ich weiß nur nicht, wie ich jetzt B := [mm] \overline{A}^TA [/mm] ausnutze, um aus [mm] |\lambda| \wurzel{|\lambda|} [/mm] zu bekommen.
Kann mir jemand helfen?
Liebe Grüße
fagottator
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:02 Di 02.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie für allgemeine Matrizen [mm]\IK^{nxn}[/mm] mit [mm]\IK \in {\IR, \IC}[/mm]
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> [mm]||A||_2[/mm] := sup [mm]\{\bruch{||Ax||_2}{||x||_2} | x \in \IK^n , x \not= 0\}[/mm]
> = sup [mm]\{\wurzel{|\lambda|} | \lambda Eigenwert von \overline{A}^TA\}.[/mm]
>
> Hallo zusammen!
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> Diesen Beweis haben wir schon in ähnlicher Weise in der
> Vorlesung gehabt. Dort haben wir für hermitische Matrizen
> gezeigt:
> [mm]||A||_2[/mm] = max [mm]\{|\lambda| | \lambda Eigenwert von A\}.[/mm]
>
> Wenn A eine algemeine Matrix ist, so ist doch
> [mm]\overline{A}^TA[/mm] wieder hermitisch,
Ja
> denn
> [mm]\overline{\overline{A}^TA}^T[/mm] =
> [mm]\overline{A^T\overline{A}^T^T}[/mm] = [mm]\overline{A^T\overline{A}}[/mm]
> = [mm]\overline{A^T}\overline{\overline{A}}[/mm] = [mm]\overline{A}^TA.[/mm]
>
> Jetzt kann ich doch die Matrix B := [mm]\overline{A}^TA[/mm] in dem
> Satz aus der Vorlesung benutzen und erhalte [mm]||B||_2[/mm] = max
> [mm]\{|\lambda| | \lambda Eigenwert von A\}.[/mm]
Nein. Richtig: [mm]||B||_2[/mm] = max [mm]\{|\lambda| | \lambda Eigenwert von B\}.[/mm]
> Ich weiß nur
> nicht, wie ich jetzt B := [mm]\overline{A}^TA[/mm] ausnutze, um aus
> [mm]|\lambda| \wurzel{|\lambda|}[/mm] zu bekommen.
>
> Kann mir jemand helfen?
Es gilt: [mm] \mu [/mm] ist Eigenwert von B [mm] \gdw [/mm] es ex. ein Eigenwert [mm] \lambda [/mm] von A mit: [mm] $\mu [/mm] = [mm] \overline{\lambda}* \lambda= |\lambda|^2$
[/mm]
> Liebe Grüße
> fagottator
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