Eigenwertaufgabe < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:47 Mo 09.03.2009 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | Löse Lu=-u''
[mm] U_1[u]=u(0)
[/mm]
[mm] U_2[u]=u(1)
[/mm]
als Eigenewertaufgabe. |
Ok man stellt das Problem auf:
[mm] -f''=\lambda [/mm] f f(0)=f(1)=0
dann betrachtet man getrennt [mm] \lambda=0 [/mm] und [mm] \lambda \not=0
[/mm]
und dort jeweils ob die Determinante von [mm] \Delta(\lambda)=A [/mm] mit [mm] A=a_{i,k} [/mm]
[mm] a_{i,k}= U_i[u_k]
[/mm]
0 wird.
Die [mm] \lambda [/mm] für die das der Fall ist werden dann in meinem Skript die Eigenwerte von A genannt wobei Lu=Au sein soll. Ist da ein Fehler oder ist das genau die [mm] \Delta [/mm] Matrix?
Es wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.
Vielen Dank
jumape
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:44 Di 10.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ist das die woertliche Aufgabe? kein L gegeben?
was bedeuten die grossen U,
eine Dgl 2ten Grades muss man doch normalerweise erst in ein System 1. Grades verwandeln?
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Mi 18.03.2009 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | Lu=-u''
[mm] U_1(u)= [/mm] u(0)-u(1)
[mm] U_2(u)= [/mm] u'(0)-u'(1)
|
Die U sind die Randwerte und das ist die gesamte Aufgabenstellung. Aber inzwischen habe ich einigermaßen verstanden wie man das macht.
Bitte korrigiere mich wenn ich etwas falsch mache:
1. Eigenwertaufgabe aufstellen
[mm] -f''=\lambda [/mm] f f(0)=f(1) f'(0)=f'(1)
2. Fundamentalsystem finden, abhängig von [mm] \lambda
[/mm]
[mm] \lambda=0: [/mm] 1,x
[mm] \lambda \not= [/mm] 0: [mm] e^{\wurzel{-\lambda}x}, e^{-\wurzel{-\lambda}x}, [/mm]
3. Die Matrix [mm] (U_i(u_k))_{i,k} [/mm] aufstellen und ihre Determinante berechnen.
Die Determinante = 0 setzen und nach [mm] \lambda [/mm] auflösen. Diese sind dann die Eigenwerte.
4. Mithilfe der Randwerte die Koeffizienten bestimmen.
Hier liegt mein Problem:
Für [mm] \lambda=0 [/mm] habe ich f=ax+b
mit f(0)=f(1) ist a=0
mit f'(0)=f'(1) kommt nichts neues hinzu
wir haben also f=b b beliebig
Für [mm] \lambda\not= [/mm] 0 ist jedes [mm] \lambda [/mm] nach 3. ein Eigenwert
Jetzt kommen die hier auf f(x)= a cos(k(x-0,5)) mit [mm] \lambda=-k^2
[/mm]
Wie kommen die darauf. Ich sehe ja, dass es stimmt, aber wie kommen die auf diese Art und weise darauf. Ich hätte ja die Linearkombination des Fundamentalsystems in die Randwerte eingesetzt um die Koeffizienten auszurechnen. BIn aber dabei nicht darauf gekommen.
Kann mir vielleicht helfen?
|
|
|
| |
|
Hallo jumape,
> Lu=-u''
> [mm]U_1(u)=[/mm] u(0)-u(1)
> [mm]U_2(u)=[/mm] u'(0)-u'(1)
>
> Die U sind die Randwerte und das ist die gesamte
> Aufgabenstellung. Aber inzwischen habe ich einigermaßen
> verstanden wie man das macht.
> Bitte korrigiere mich wenn ich etwas falsch mache:
> 1. Eigenwertaufgabe aufstellen
> [mm]-f''=\lambda[/mm] f f(0)=f(1) f'(0)=f'(1)
>
> 2. Fundamentalsystem finden, abhängig von [mm]\lambda[/mm]
> [mm]\lambda=0:[/mm] 1,x
> [mm]\lambda \not=[/mm] 0: [mm]e^{\wurzel{-\lambda}x}, e^{-\wurzel{-\lambda}x},[/mm]
Der Fall [mm]\lambda \not= 0[/mm] unterteilt sich nochmals in
[mm]\lambda < 0: e^{\wurzel{-\lambda}x}, e^{-\wurzel{-\lambda}x}[/mm]
[mm]\lambda > 0: \sin\left(\wurzel{\lambda}x\right), \cos\left(\wurzel{\lambda}x\right) [/mm]
>
> 3. Die Matrix [mm](U_i(u_k))_{i,k}[/mm] aufstellen und ihre
> Determinante berechnen.
> Die Determinante = 0 setzen und nach [mm]\lambda[/mm] auflösen.
> Diese sind dann die Eigenwerte.
>
> 4. Mithilfe der Randwerte die Koeffizienten bestimmen.
> Hier liegt mein Problem:
>
> Für [mm]\lambda=0[/mm] habe ich f=ax+b
> mit f(0)=f(1) ist a=0
> mit f'(0)=f'(1) kommt nichts neues hinzu
> wir haben also f=b b beliebig
>
> Für [mm]\lambda\not=[/mm] 0 ist jedes [mm]\lambda[/mm] nach 3. ein Eigenwert
> Jetzt kommen die hier auf f(x)= a cos(k(x-0,5)) mit
> [mm]\lambda=-k^2[/mm]
> Wie kommen die darauf. Ich sehe ja, dass es stimmt, aber
> wie kommen die auf diese Art und weise darauf. Ich hätte ja
> die Linearkombination des Fundamentalsystems in die
> Randwerte eingesetzt um die Koeffizienten auszurechnen. BIn
> aber dabei nicht darauf gekommen.
>
> Kann mir vielleicht helfen?
Gruß
MathePower
|
|
|
|
