Eigenwertberechnung < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:29 So 25.09.2005 | | Autor: | Boede |
Beim vorbereiten auf eine Matheklausur bin ich auf eine "bösartige" Matrix (in einer alten Klausur) gestossen vor der die Eigenwerte und Eigenräume zu berechnen sind:
[mm] \pmat{ -7 & -2 & 2 \\ 10 & 5 & -2 \\ -12 & 0 & 9 }
[/mm]
Auffällig fande ich schon das nur eine "0" zu finden ist und somit die Entwicklung nach einer Spalte/Zeile schonmal zu keiner Vereinfachung führt. Als nächstes wollte ich einfach stur die Regel von Sarrus anwenden um an die gewünschten Eigenwerte [mm] \lambda [/mm] zu kommen.
[mm] \pmat{ -7 - \lambda & -2 & 2 \\ 10 & 5 - \lambda & -2 \\ -12 & 0 & 9 -\lambda }
[/mm]
Aber auch hier habe ich schnell die Segel gestrichen weil die Aufgabe
1. ohne Tachenrechner und
2. innerhalb 15 min
zu beantworten ist. Der Term wird einfach zu gross.
Jetzt zu meiner Frage:
In allen Vorbereitungsklausuren die ich bisher bearbeitet habe, waren die Matrizen entweder "gutartig" oder mit Hilfe eines Tricks insoweit zu vereinfachen das man Entwickeln konnte. Habe ich hier etwas übersehen?
Es heisst doch das Umformungen an der Matrix die Determinante und somit die Eigenwerte verändern.
Danke im Vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 So 25.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> Aber auch hier habe ich schnell die Segel gestrichen weil
Warum? char. Polynom ausrechnen und zusammenfassen - das ist der erste Schritt.
> die Aufgabe
> 1. ohne Tachenrechner und
> 2. innerhalb 15 min
Wieso nur 15min?
> zu beantworten ist. Der Term wird einfach zu gross.
Das glaube ich nicht - ein Polynome dritten Grades halt.
> Entwickeln konnte. Habe ich hier etwas übersehen?
Die Nullstellen des sich ergebene char. Polynoms sind einfach und man sieht eigtl. durch hinsehen - das ist der "Trick".
.
> Danke im Vorraus.
Jetzt rechne mal das char. Polynom zu ende aus - und dann suche, ob du die Nst. findest.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 So 25.09.2005 | | Autor: | Boede |
Zunächst mal danke für euren Antworten, dieser anscheinend eher leichten Aufgabe.
Ich habe nun das char. Polynom berechnet und es sieht wie folgt aus:
[mm] -\lambda^3 [/mm] + [mm] 7\lambda^2 [/mm] + [mm] 9\lambda [/mm] -63 = 0
naja gut, [mm] \lambda [/mm] vorklammern ist immer eine gute idee, haben wir also
[mm] \lambda(- \lambda^2 [/mm] + [mm] 7\lambda [/mm] + 9) -63 = 0
So, und jetzt ist bei mir Feierabend. Wie kann ich davon eine Lösung raten um mit Polynomdivision weitermachen zu können?
Die Regel von Cardano ist mir unbekannt.
|
|
|
| |
|
also ein lambda ausklammern nutzt hier nicht viel, aber du kannst zumindest eine nullstelle raten. ein trick aus der schule:
sind alle koeffizienten ganze zahlen und gibt es eine ganze zahl als lösung, so teilt sie den letzten koeffizienten, in deinem fall die 63. jetzt muss man halt ausprobieren. man sieht sehr leicht, dass es die 1 und auch die -1 nicht sein können. die 2 und auch die -2 sind keine teiler von 63. also probiert man mal die 3 aus, die ein teiler ist, und es kommt 0 raus.
die anderen 2 lösungen bekommst du dann per polynomdivison.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:19 So 25.09.2005 | | Autor: | Boede |
Spitze, die 3 passt!
So was lernt man in der Schule? 
Da war ich wohl gerade abwesend.
Gruss Boede
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:56 So 25.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> die anderen 2 lösungen bekommst du dann per
> polynomdivison.
Oder eben sich den Term nochmal anschauen ... Polynomdivison dauert da wohl zu lange. Probier doch mal weitere Teiler von 63 ...
SEcki
|
|
|
| |
|
Hallo, also so schwer ist das wirklich nicht.
Das charakteristische Polynom sieht ja so aus (SARRUS'sche Regel):
[mm] p(\lambda)=(-7-\lambda)(5-\lambda)(9-\lambda)-48+0+24(5-\lambda)-0+20(9-\lambda)
[/mm]
Das ist ein Polynom dritten Grades und davon kannst du doch die lösungen berechnen(vielleicht nicht ganz in 15 Minuten!) mit den Formeln von Cardano oder 1 Lsg. probieren und Polynomdivision.
Viele Grüße
|
|
|
|
