Eigenwertberechnung 4x4 Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:56 Sa 01.09.2012 | | Autor: | Raijin92 |
| Aufgabe | Berechnen Sie alle Eigenwerte der Matrix
[mm] A=\pmat{ 5 & -1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 3 & 2 \\0 & 0 & 1 & -3 \\0 & 0 & 2 & -4} [/mm] |
Hallo leute,
Ich komme bei der berechnung von den Eigenwerten einer 4x4 Matrix nicht mehr weiter. Hoffe ihr könnt mir weiter helfen.
Mein Rechenweg:
det(A [mm] -\lambda [/mm] E)=
[mm] \vmat{ 5-\lambda & -1 & 1 & 1 \\ 2 & 2-\lambda & 3 & 2 \\0 & 0 & 1-\lambda & -3 \\0 & 0 & 2 & -4-\lambda}
[/mm]
Hab die Determinante zu 1. Spalte gebildet
det(A [mm] -\lambda [/mm] E)=
[mm] (5-\lambda) \* \vmat{ 2 -\lambda & 3 & 2 \\ 0 & 1 -\lambda & -3\\ 0& 2 & -4 -\lambda} [/mm] - 2 [mm] \* \vmat{ -1&1&1 \\ 0 & 1 -\lambda & -3\\ 0& 2 & -4 -\lambda} [/mm]
Nochmal die Determinante zu 1. Spalte:
[mm] (5-\lambda) \* (2-\lambda) \* \vmat{ 1-\lambda & -3 \\ 2 & -4-\lambda }+2 \* \vmat{ 1-\lambda & -3 \\ 2 & -4-\lambda }
[/mm]
= [mm] (5-\lambda) \* (2-\lambda) [/mm] * ( [mm] (1-\lambda) \*(-4-\lambda)-(2\*(-3)) [/mm] ) +2 [mm] \* [/mm] ( [mm] (1-\lambda) \*(-4-\lambda)-(2\*(-3)) [/mm] )
[mm] =(\lambda^{2}-7\lambda+10)\* (\lambda^{2}+3\lambda+2) [/mm] + [mm] 2\* (\lambda^{2}+3\lambda+2)
[/mm]
[mm] =(\lambda^{2}-7\lambda+10)\* (\lambda^{2}+3\lambda+2) [/mm] + [mm] (2\lambda^{2}+6\lambda+4)
[/mm]
Jetzt weiß ich nicht mehr was ich machen muss hab ich irgendwo ein fehler?
Ich wollte eigentlich die p-q formel anwenden aber da kommen nur falsche ergebnisse.
Die lösungen sind schon bekannt aber ich bekomme diese werte nicht heraus:
det(A [mm] -\lambda E)=\vmat{ 5-\lambda & -1 \\ 2 & 2-\lambda }\* \vmat{ 1-\lambda & -3 \\ 2 & -4-\lambda } [/mm] = [mm] (\lambda^{2}-7\lambda+12) \*(\lambda^{2}+3\lambda+2) [/mm]
[mm] \lambda_{1}=4, \lambda_{2}=3, \lambda_{3}=-1, \lambda_{4}=-2
[/mm]
Gehe ich die sache evtl. zu kompliziert an?
Gibts da irgend ein Trick dahinter?
Ich bedanke mich im voraus.
Viele Grüße Raijin92
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Raijin,
du hast ja fast alles richtig gemacht:
> Berechnen Sie alle Eigenwerte der Matrix
>
> [mm]A=\pmat{ 5 & -1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 3 & 2 \\0 & 0 & 1 & -3 \\0 & 0 & 2 & -4}[/mm]
>
> Hallo leute,
>
> Ich komme bei der berechnung von den Eigenwerten einer 4x4
> Matrix nicht mehr weiter. Hoffe ihr könnt mir weiter
> helfen.
>
> Mein Rechenweg:
> det(A [mm]-\lambda[/mm] E)=
> [mm]\vmat{ 5-\lambda & -1 & 1 & 1 \\ 2 & 2-\lambda & 3 & 2 \\0 & 0 & 1-\lambda & -3 \\0 & 0 & 2 & -4-\lambda}[/mm]
>
> Hab die Determinante zu 1. Spalte gebildet
>
> det(A [mm]-\lambda[/mm] E)=
> [mm](5-\lambda) \* \vmat{ 2 -\lambda & 3 & 2 \\ 0 & 1 -\lambda & -3\\ 0& 2 & -4 -\lambda}[/mm]
> - 2 [mm]\* \vmat{ -1&1&1 \\ 0 & 1 -\lambda & -3\\ 0& 2 & -4 -\lambda}[/mm]
>
> Nochmal die Determinante zu 1. Spalte:
>
> [mm](5-\lambda) \* (2-\lambda) \* \vmat{ 1-\lambda & -3 \\ 2 & -4-\lambda }+2 \* \vmat{ 1-\lambda & -3 \\ 2 & -4-\lambda }[/mm]
>
> = [mm](5-\lambda) \* (2-\lambda)[/mm] * ( [mm](1-\lambda) \*(-4-\lambda)-(2\*(-3))[/mm]
> ) +2 [mm]\*[/mm] ( [mm](1-\lambda) \*(-4-\lambda)-(2\*(-3))[/mm] )
>
> [mm]=(\lambda^{2}-7\lambda+10)\* (\lambda^{2}+3\lambda+2)[/mm] + [mm]2\* (\lambda^{2}+3\lambda+2)[/mm]
Bis hierher stimmt alles. Klammere jetzt [mm] (\lambda^{2}+3\lambda+2)[/mm] aus, dann erhälst du:
[mm] ... = (\lambda^{2}-7\lambda+10 + 2)\* (\lambda^{2}+3\lambda+2)[/mm]
[mm] = (\lambda^{2}-7\lambda+12)\* (\lambda^{2}+3\lambda+2)[/mm]
Dies ist das Ergebnis der Musterlösung.
> [mm]=(\lambda^{2}-7\lambda+10)\* (\lambda^{2}+3\lambda+2)[/mm] +
> [mm](2\lambda^{2}+6\lambda+4)[/mm]
>
> Jetzt weiß ich nicht mehr was ich machen muss hab ich
> irgendwo ein fehler?
>
> Ich wollte eigentlich die p-q formel anwenden aber da
> kommen nur falsche ergebnisse.
>
>
>
>
>
> Die lösungen sind schon bekannt aber ich bekomme diese
> werte nicht heraus:
>
> det(A [mm]-\lambda E)=\vmat{ 5-\lambda & -1 \\ 2 & 2-\lambda }\* \vmat{ 1-\lambda & -3 \\ 2 & -4-\lambda }[/mm]
> = [mm](\lambda^{2}-7\lambda+12) \*(\lambda^{2}+3\lambda+2)[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1}=4, \lambda_{2}=3, \lambda_{3}=-1, \lambda_{4}=-2[/mm]
>
>
> Gehe ich die sache evtl. zu kompliziert an?
> Gibts da irgend ein Trick dahinter?
>
> Ich bedanke mich im voraus.
> Viele Grüße Raijin92
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Grüße
franzzink
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> Gehe ich die sache evtl. zu kompliziert an?
> Gibts da irgend ein Trick dahinter?
Ja, allerdings, den gibt es:
Deine Matrix ist eine sogenannte Blockdreiecksmatrix.
Sie hat die Form $A = [mm] \pmat{B & C \\ 0 & D}$, [/mm] wobei $B,C,D$ jeweils $2 [mm] \times [/mm] 2$ Matrizen sind und $0$ für einen $2 [mm] \times [/mm] 2$ Nullblock steht.
Für eine Matrix in der Form gilt $det(A) = det(B)*det(D)$, eine Aussage die dir wahrscheinlich schon begegnet ist, da die von dir gepostete Musterlösung so arbeitet.
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:46 Sa 01.09.2012 | | Autor: | Raijin92 |
Danke an alle die mir geholfen haben hat mir echt weiter geholfen.
Hab das mit dem ausklammern gar nicht gesehen.
Und dieser Trick ist auch sehr gut. Könnte mir eine menge Zeit damit Sparen
Naja ich habs jetzt gelöst und komme auch jetzt auf das ergebnis.
Echt super :)
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