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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:23 Sa 29.04.2006 | | Autor: | trixi86 |
| Aufgabe | | Sei A eine nxn-Matrix über [mm] \IR [/mm] mit [mm] A^{2} [/mm] = A * A = A. Bestimmen sie alle möglichen Eigenwerte die A haben kann. |
hallo ihr.
also mein hauptproblem ist erstmal folgendes. ich nicht weiß welche matrizen da gemeint sind. es ist aufjedenfall die einheitsmatrix, weil wenn man die mit sich selber multipliziert kommt wieder die einheitsmatrix raus. allerdings ginbt es auch noch andere matrizen bei denen das der fall ist. durch probieren habe ich herausgefunden dass es immer matrizen mit möglichst vielen nullen und ein paar einsen sind. allerdings konnte ich keine regelmäßigkeit feststellen. deshalb ist auch meine erste frage:
welch gruppe von matrizen ergibt mit sich selbst multipliziert wieder die ausgangsmatrix??
aufgrund meines rumprobierens bin ich darauf gekommen dass die eigenwerte eigentlich nur 1 und 0 sein können. stimmt das? wenn ja warum. probieren ist ja kein beweis. ich brauch irgendwas womit ich meine überlegung beweisen kann.
bin über jede hilfe dankbar
gruß trixi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 Sa 29.04.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
wenn du mal [mm] $A=A^2$ [/mm] benutzt und v ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] ist, dann gilt doch:
[mm] $\lambda [/mm] *v = A*v = [mm] A^2 [/mm] *v = [mm] \lambda^2 [/mm] *v$
wenn du jetzt ganz rechts mit ganz links vergleichst hast du : [mm] $\lambda=\lambda^2$
[/mm]
und das ist ja nicht soooo oft der Fall 
viele Grüße
DaMenge
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