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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Fr 25.01.2008 | | Autor: | Franzie |
| Aufgabe | | Bestimme mit Hilfe der Potenzmethode den betragsmäßig größten und den betragsmäßig kleinsten Eigenwert der Matrix A. Berechne alternativ diese beiden Eigenwerte über den Rayleigh-Quotienten. |
Hallo ihr Lieben!
Sitze vor der obigen Aufgabe und komme einfach nicht weiter. Meine Matrix A sieht wie folgt aus:
[mm] A=\pmat{ 1 & 3 &4 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 0 & 1}
[/mm]
Hab das mit der Potenzmethode leider noch nicht ganz verstanden. Haben dazu in der Vorlesung nur aufgeschrieben, dass [mm] x_{0} [/mm] der Startvektor ist und [mm] x_{k+1}=A*x_{k}
[/mm]
WIe wähle ich denn mein [mm] x_{0} [/mm] am besten und wie krieg ich denn aus der Darstellung [mm] x_{k+1}=A*x_{k} [/mm] meinen Eigenvektor? Vielleicht habt ihr auch eine Seite, wo ein gutes Beispiel draufsteht, damit ich mich daran orientieren kann.
Vielen Dank schon mal im Voraus!
liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 Fr 25.01.2008 | | Autor: | zetamy |
Hallo,
Der Algorithmus der Potenzmethode lautet so:
1. Wähle [mm] x_0\in\IR^3 [/mm] mit [mm] Ax_0\ne 0 [/mm].
2. Berechne [mm] y_0=\frac{x_0}{||x_0||}[/mm].
3. Für k=0,1,2,... berechne [mm] p_A(y_k)=\left\langle Ay_k,y_k \right\rangle [/mm] und [mm] y_{k+1}=\frac{Ay_k}{||Ay_k||} [/mm]
Dann konvergiert [mm] p_A(y_k)\to\lambda_{max}[/mm] und [mm] y_k\to v_{max}\ne 0[/mm], wobei [mm]\lambda_{max}[/mm] der betragsgrößte Eigenwert und [mm]v_{max}[/mm] der zugehörige normierte Eigenvektor ist.
Den Startvektor kannst du beliebig wählen (bis auf die Bedingung in 1). Einen geeigneten zu wählen, ist eine Kunst... oder du verwendst zunächst den Satz von Geschgorin, sofern du diesen kennst.
Gruß, zetamy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:03 Fr 25.01.2008 | | Autor: | Franzie |
Danke schon mal für die schnelle Antwort. Habe mir dazu schon mal die Gershgorin Kreise gezeichnet, falls du das meinst. In deren Vereinigung liegen doch dann die Eigenwerte. Nur weiß ich nicht, wie ich daraus jetzt nen geeigneten Startvektor finde. Ach ja,...was du mit p=<....> geschrieben hast, ist das ein Skalarprodukt?
liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 Fr 25.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Musst du das "zu Fuss" machen? oder tuts ein kleines Programm?
dann fang einfach mit dem einfachsten an [mm] (1,0,0)^T
[/mm]
und ja, <a,b> ist die übliche Schreibweise für ein Skalarprodukt.
Gruss leduart
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Hallo zetamy,
Die Voraussetzung ist eigentlich das [mm] x_0 [/mm] nicht senkrecht auf dem Eigenvektor ( [mm] v_{\max} [/mm] )zum größten Eigenwert ( [mm] \lambda_{\max} [/mm] ) steht.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:42 Sa 26.01.2008 | | Autor: | Franzie |
Alles klar. Danke euch! Und wie mache ich das, wenn ich den betragsmäßig kleinsten Eigenwert haben will? Nehm ich dann anstelle von A die Inverse?
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genauso ist es 
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