Eigenwerte < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 So 23.01.2005 | | Autor: | Tito |
Hallo Matheraum !
Ich verzweifel gerade an einer Aufgabe, die ich eigentlich alleine lösen wollte, dachte die wäre nicht schwer für mich, naja hab ich falsch gedacht  .
Aufgabe: Sei V ein endlichdimensionaler unitärer Vektorraum und F [mm] \in [/mm] End(V). Für alle v,w [mm] \in [/mm] V gelte:
<F(v), w> = - < v, F(w)> ( nicht selbstadjungt)
Zeigt: a) Wenn [mm] \lambda \in \IC [/mm] ein Eigenwert, dann ist [mm] \lambda [/mm] rein imaginär.
Ich habe folgendes gemacht, ich weiß nicht ob man so an diese Aufgabe rangeht kann:
Sei [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von F zum Eigenvektor v dann gilt
<F(v),w> = [mm] <\lambda [/mm] v, w> = [mm] \lambda [/mm] <v, w> = <v, [mm] \overline{\lambda} [/mm] w> = - <v, F(w)> = <v, - F(w)> .
also folgt doch F(w)= - [mm] \overline{\lambda} [/mm] w ,
und daraus folgt doch [mm] <\lambda [/mm] v, w> = -<v, - [mm] \lambda [/mm] w> [mm] \gdw \lambda [/mm] <v,w> = [mm] \lambda [/mm] <v,w>... hier weiß ich jetzt nicht weiter, aber heißt das nicht, dass wenn [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von F zum Eigenvektor v kann [mm] \lambda [/mm] auch einen Wert annehmen der nicht nur rein imaginär ist... oder habe ich irgendwas falsch gemacht?
und dann wäre ich noch dankbar für Ideen zu
b) Es gibt eine Orthonormalbasis von V aus Eigenvektoren von F.
Danke, Gruß
Tito
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:51 So 23.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi Tito
> Aufgabe: Sei V ein endlichdimensionaler unitärer Vektorraum
> und F [mm]\in[/mm] End(V). Für alle v,w [mm]\in[/mm] V gelte:
>
> <F(v), w> = - < v, F(w)> ( nicht selbstadjungt)
selbstadjungierte endomorphisem helfen dir hier aber viel weiter, wenn dir die entsprechenden beweise klar sind!
> Zeigt: a) Wenn [mm]\lambda \in \IC[/mm] ein Eigenwert, dann ist
> [mm]\lambda[/mm] rein imaginär.
>
> Ich habe folgendes gemacht, ich weiß nicht ob man so an
> diese Aufgabe rangeht kann:
> Sei [mm]\lambda[/mm] ein Eigenwert von F zum Eigenvektor v dann
> gilt
> <F(v),w> = [mm]<\lambda[/mm] v, w> = [mm]\lambda[/mm] <v, w> = <v,
> [mm]\overline{\lambda}[/mm] w> = - <v, F(w)> = <v, - F(w)> .
> also folgt doch F(w)= - [mm]\overline{\lambda}[/mm] w ,
> und daraus folgt doch [mm]<\lambda[/mm] v, w> = -<v, - [mm]\lambda[/mm] w>
> [mm]\gdw \lambda[/mm] <v,w> = [mm]\lambda[/mm] <v,w>... hier weiß ich jetzt
> nicht weiter, aber heißt das nicht, dass wenn [mm]\lambda[/mm] ein
> Eigenwert von F zum Eigenvektor v kann [mm]\lambda[/mm] auch einen
> Wert annehmen der nicht nur rein imaginär ist... oder habe
> ich irgendwas falsch gemacht?
ich hätte das folgerndermaßen gemacht: sei $v [mm] \not= [/mm] 0$ eine eigenvektor zum eigenwert [mm] $\lambda$, [/mm] dann gilt
[m] \lambda \left< v, v \right> = \left< \lambda v, v \right> = \left< F(v), v \right> = - \left< v, F(v) \right> = - \left< v, \lambda v \right> = - \overline{\lambda} \left< v, v \right> [/m] und da [m] \left< v, v \right> \not= 0 [/m] folgt: [m] \lambda = - \overline{\lambda} [/m] und somit, dass [m] \lambda [/m] rein imaginär ist!
ich hoffe bis hierhin ist das klar, wenn nicht frage einfach nach.
> und dann wäre ich noch dankbar für Ideen zu
> b) Es gibt eine Orthonormalbasis von V aus Eigenvektoren
> von F.
ich habe das zwar nicht durchgerechnet, aber intuitiv würde ich darauf tippen, dass man einzelne eigenräume abspalten kann und dann wieder eine abbildung der selben art erhält und somit im prinzip mit induktion eine orthonormalbasis konstuieren kann!
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:56 So 23.01.2005 | | Autor: | Tito |
Hallo andreas!
Ok danke der Teil a) ist verständlich danke.
Teil b) muss ich mir nochmal durch den Kopf gehen lassen danke.
Gruß
Tito
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 13:45 Di 25.01.2005 | | Autor: | Tito |
Hallo!
Ich habe mir versucht ein paar Gedanken zu dem Teil b) ("Es gibt eine Orthonormalbasis von V aus Eigenvektoren von F.") zu machen, aber ich hänge dabei, wie ich die Induktion machen kann.
Was ich bis her überlegt hab ist:
dim V =n < [mm] \infty [/mm] , F [mm] \in [/mm] End(V)
Das charakteristische Polynom zerfällt über [mm] \IC [/mm] in Linearfaktoren also
[mm] P_F [/mm] (t) = [mm] \pm [/mm] (t - [mm] \lambda_1) [/mm] *....*(t - [mm] \lambda_n)
[/mm]
aus Aufgabenteil a) folgt die [mm] \lambda_i \IC [/mm] für i=1....n und [mm] \lambda_i [/mm] sind rein imaginär.
Nun muss ich doch eine Induktion über die Dimension von V machen also über n, aber ich bekomm das nicht hin.
Ich hänge schon bei Induktionsanfang n=0, das heißt doch das die dim V = 0 und eine Basis davon ist { [mm] \emptyset [/mm] }, ist die leere Menge eine Orthonormalbasis?
Ich weiß nicht wie ich die Voraussetzung gestalten muss. Kann man die Vorraussetzung einfach so gestalten:
Für n [mm] \ge [/mm] 1 sei W [mm] \subset [/mm] V und definiere W:= { [mm] w_i [/mm] : < [mm] v_1 [/mm] , [mm] w_i [/mm] > = 0} für i = 1....n und [mm] v_1 \in [/mm] V Eigenvektor von F. Für diesen Untervektorraum W gibt es eine ONB aus Eigenvektoren [mm] w_1 [/mm] ,....., [mm] w_n [/mm] von [mm] F|_W.
[/mm]
Und kann die Induktionsbehauptung sein ?: { [mm] v_1 [/mm] , [mm] w_1 [/mm] ,....., [mm] w_n [/mm] } ist ONB von V aus Eigenvektoren.
wäre für Hilfe dankbar.
Gruß
Tito
|
|
|
|
