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| Aufgabe | | Seien A und B quadratischeMatrizen über [mm] \IR [/mm] mit [mm] A^{t}=A^{-1} [/mm] und [mm] B^{t}=B^{2}. [/mm] Welche Werte können die Eigenwerte von A bzw. B annehmen? |
Hallo Leute,
ich habe das Gefühl, dass diese Aufgabe nicht sonderlich schwer ist. Trotzdem sehe ich irgendwie kein Licht. Wenn ich also die Eigenwerte von A rauskriegen will, hier erst mal ein paar Dinge, die mir einfallen. Die Eigenwerte sind die Nullstellen des char. Polynoms P(A).
[mm]P(A)=det(A-k*E)[/mm]
Dann wissen wir noch aus der Vorlesung [mm] det(A)=det(A^{t}). [/mm] Weiter kann man noch sagen, dass [mm] det(A)=det(A^{t})=det(A^{-1}) [/mm] n.V.
Wie kann ich jetzt sinnvoll daraus etwas folgern? Folgt z.B.
[mm] det(A)=det(A^{t})\Rightarrow[/mm] [mm]det(A-k*E)=det(A^{t}-k*E)[/mm] ??
Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen?
Grüße, Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:23 Sa 17.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
überlege dir doch mal was $(A - [mm] kE)^t$ [/mm] mit den regeln für transponierte matrizen ergibt, dann kommst du mit deinem ansatz bestimmt weiter...
grüße
andreas
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Hallo Andreas, danke für deine Hilfe. Dann müsste doch sowas hier folgen oder nicht:
[mm] det(A^{T}-k*E)=det(A^{T}-k*E^{T})=det(A-k*E)^{T}=det(A-k*E).
[/mm]
Daraus würde folgen, dass A diegleichen Eigenwerte wie [mm] A^{T} [/mm] und [mm] A^{-1} [/mm] hat. Aber dann habe ich doch die Voraussetzung gar nicht benutzt?! Außerdemwürde doch dann für B dasselbe folgen oder? Oder mache ich einen Fehler?
Grüße Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 Sa 17.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Dann müsste doch
> sowas hier folgen oder nicht:
>
> [mm]det(A^{T}-k*E)=det(A^{T}-k*E^{T})=det(A-k*E)^{T}=det(A-k*E).[/mm]
ja.
> Daraus würde folgen, dass A diegleichen Eigenwerte wie
> [mm]A^{T}[/mm]
das stimmt.
> und [mm]A^{-1}[/mm] hat.
warum? dafür habe ich kein argument gesehen (und die aussage ist auch falsch).
EDIT: falsche aussage durchgestrichen. die eigenwerte von [mm] $A^{-1}$ [/mm] stimmen natürlich mit dennen von [mm] $A^t$ [/mm] in diesem fall überein (siehe folgende frage).
grüße
andreas
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Okay, aber wo nutze ich dann die Voraussetzung aus und folgt dann nicht für B mit analoger Schlussweise dasselbe?
Und müsste nicht mit [mm] A^{T}=A^{-1} [/mm] auch [mm] det(A^{T}-kE)=det(A^{-1}-kE) [/mm] folgen?
Grüße Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Sa 17.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Okay, aber wo nutze ich dann die Voraussetzung aus und
> folgt dann nicht für B mit analoger Schlussweise dasselbe?
>
> Und müsste nicht mit [mm]A^{T}=A^{-1}[/mm] auch
> [mm]det(A^{T}-kE)=det(A^{-1}-kE)[/mm] folgen?
ok, das was ich bisher gesagt habe war nicht allzu zielführend. wir haben nun zwar, dass $A, [mm] A^t$ [/mm] und [mm] $A^{-1}$ [/mm] alle die selebn eigenwerte haben, aber noch keine explizite beschreibung dafür. sei dazu $x [mm] \in \mathbb{R}^n$ [/mm] ein eigenvektor von $A$ zum eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] und bezeichne [mm] $\left< -,- \right>$ [/mm] das standardskalarprodukt auf [mm] $\mathbb{R}^n$, [/mm] dann ist
[mm] $\lambda^2 \left< x, x \right> [/mm] = [mm] \left< \lambda x, \lambda x \right> [/mm] = [mm] \left< Ax, Ax \right> [/mm] = x^tA^tAx = [mm] x^t A^{-1}Ax [/mm] = x^tx = [mm] \left< x, x \right>$.
[/mm]
was kann man nun über [mm] $\lambda$ [/mm] aussagen?
grüße
andreas
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Hallo Andreas, vielleicht ist das auch zu einfach, aber die Gleichungskette gilt gdw Lambda +1 oder -1 ist das richtig?
Und wie seht das nun für B aus? Das würde sich ja in einer analogen Gleichungskette kaum herauskürzen oder?
Grüße Daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 So 18.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Hallo Andreas, vielleicht ist das auch zu einfach, aber die
> Gleichungskette gilt gdw Lambda +1 oder -1 ist das
> richtig?
Ja
>
> Und wie seht das nun für B aus? Das würde sich ja in einer
> analogen Gleichungskette kaum herauskürzen oder?
>
Wir wissen, dass B und [mm] B^2 [/mm] dieselben EW haben.
Sei nun v ein EV zum EW [mm] \lambda. [/mm] Dann gilt ja B*v = [mm] \lambda*v [/mm] und [mm] B^2*v [/mm] = [mm] \lambda^2* [/mm] v, d.h. wenn [mm] \lambda [/mm] ein EW ist, dann ist auch [mm] \lambda^2 [/mm] ein EW, da die EW von B und [mm] B^2 [/mm] übereinstimmen. Also was kommt nur für [mm] \lambda [/mm] in Betracht?
> Grüße Daniel
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Vielen Dank für eure Hilfe, jetzt habe ich alles verstanden!
Grüße Daniel
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