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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Fr 08.04.2005 | | Autor: | mando |
Aufgabe 1
Seinen V ein nicht notwenidig endlich dimensionaler Vektorraum über dem Körper K und f,g : V->V K-linear. Man zeige:
(a) Die Eigenwerte [mm] \not= [/mm] 0 von f [mm] \circ [/mm] g und g [mm] \circ [/mm] f stimmen überein
Sitze schon ziemlich lang an der Aufgabe und komm einfach auf nichts. Hab versucht mit injektivität drauf zu kommen oder einfach über f [mm] \circ [/mm] g (v) = [mm] \lambda [/mm] v , aber ich weiss nich wie ich von f [mm] \circ [/mm] g auf g [mm] \circ [/mm] f kommen soll...
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Hallo!
So müsste es eigentlich klappen:
Sei $v$ EV von [mm] $f\circ [/mm] g$ zum EW [mm] $\lambda$. [/mm] Bezeichne $w:=g(v)$. Dann gilt:
[mm] $f(w)=f\circ g(v)=\lambda [/mm] v$. Und damit: [mm] $g\circ f(w)=g(\lambda v)=\lambda g(v)=\lambda [/mm] w$.
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:08 Fr 08.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Banachella!
So hatte ich es mir auch überlegt, aber man sollte noch erwähnen, dass $w [mm] \ne [/mm] 0$ gilt (und das ist wichtig, sonst wäre nicht klar, dass $w$ Eigenvektor ist).
Aber das ist einfach. Denn ansonsten wäre
$0=f(w) = [mm] \lambda [/mm] v$,
also: $v=0$ wegen [mm] $\lambda \ne [/mm] 0$, Widerspruch.
Sorry, wenn dir das eh klar war  , aber vielleicht dem Fragesteller nicht.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:10 Fr 08.04.2005 | | Autor: | mando |
Danke! Man könnte sagen ich war leicht blind
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jetzt sollen wir das ganze auch noch für spektralwerte machen, also vorraussetzungen wie bei der 1. aufgabe:
Seien V ein nicht notwendig endlich dimensionaler Verktorraum über dem Körper K und f,g: V [mm] \to [/mm] V K-linear.
Aufgabe: Man zeige die Spektralwerte [mm] \not=0 [/mm] von f [mm] \circ [/mm] g und g [mm] \circ [/mm] f stimmen überein
als hinweis haben wir noch dazu
Zeige, dass, fals fg - a * [mm] id_V [/mm] invertierbar ist, gilt:
(gf-a [mm] id_V)^{-1}=a^{-1} [/mm] (g(fg - a [mm] id_V)^{-1} [/mm] f - [mm] id_V)
[/mm]
mir ist schon klar warum ich das machen muss, hab aber keine ahnung wie ich das zeigen soll, wenn ich da versuche klammern aufzulösen, weiss ich zum einen nicht mal sicher, ob ich das überhaupt darf und zum andern komm ich auch zu keinem ergebniss
kann mir vielleicht jemand nen tipp, in form von ner rechenregel oder so geben, die ich dabei anwenden darf?
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Hallo!
Um den Tipp nachzurechnen solltest du mal folgenden Ansatz versuchen:
Berechne
$(gf-a [mm] id_V)*\big( [/mm] (g(fg - a [mm] id_V)^{-1} [/mm] f - [mm] id_V)\big)$ [/mm] und [mm] $\big( [/mm] (g(fg - a [mm] id_V)^{-1} [/mm] f - [mm] id_V)\big)*(gf-a id_V)$. [/mm]
Wenn beides gleich $a [mm] id_V$ [/mm] ist, hast du den Tipp gezeigt.
Geht's damit?
Gruß, banachella
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genau das hab ich ja schon probiert
mein problem ist, dass ich nicht weiss wie ich dieses [mm] \circ [/mm] als rechnezeichen zu verstehen hab.
also darf ich die klammern einfach ausmultiplizieren (also [mm] \circ \hat= \*)? [/mm] kommutativ ist es ja z.b. schon mal nicht, also darf ich nichts vertauschen
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Generell ist die Definition von [mm] $\circ$ [/mm] so:
[mm] $(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)$.
[/mm]
Im Endlichdimensionalen ist die Matrizenmultiplikation gerade so definiert, dass sie der Hintereinanderausführung zweier linearer Abbildungen entspricht.
Und das wird für lineare Operatoren so fortgesetzt.
Wenn du einen Lösungsansatz hast stell ihn ruhig hier rein, ich schau gerne mal drüber!
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:50 Do 14.04.2005 | | Autor: | cheetah_83 |
danke für das Angebot, aber mittlerweile hab ich die Lösung
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