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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:09 Do 11.02.2010 | | Autor: | eLi |
| Aufgabe | | Sei B [mm] \in \IR^{n \times n} [/mm] invertierbar. Dann sind alle Eigenwerte von A = [mm] B^{T}B [/mm] positiv. Warum? |
Hallo,
ich bräuchte einfach nur einen kleinen Denkanstoß für die Aufgabe. Finde irgendwie keinen Ansatz.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 Do 11.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Mit B ist auch [mm] B^T [/mm] invertierbar. Was ist dann A ? invertierbar oder nicht invertierbar ? (das ist hier die Frage). Und dann ist Kern(A) = {???}
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Do 11.02.2010 | | Autor: | eLi |
Wenn B invertierbar ist, ist auch [mm] B^{T} [/mm] invertierbar und somit ist auch A = [mm] B^{T}B [/mm] invertierbar. aber wie genau soll mir das jetzt weiter helfen? Mit dem Kern einer Matrix kenn ich mich noch nicht wirklich aus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Do 11.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Wenn B invertierbar ist, ist auch [mm]B^{T}[/mm] invertierbar und
> somit ist auch A = [mm]B^{T}B[/mm] invertierbar. aber wie genau soll
> mir das jetzt weiter helfen?
Also gut, wir wissen A ist invertierbar. Wenn nun [mm] x\in \IR^n [/mm] ist und $Ax=0$, so folgt doch: x=0. Einverstanden ?
O.K., dann ist also schon mal 0 kein Eigenwert von A. Ist doch schon mal was.
So, jetzt knöpfen wir uns einen Eigenwert [mm] \lambda [/mm] von A vor. Nach obigem wissen wir, dass $ [mm] \lambda \ne [/mm] 0 $ ist. Weiter verschaffen wir uns einen Eigenvektor x zum Eigenwert [mm] \lambda, [/mm] von dem wir annehmen können, dass er die euklidische Länge 1 hat.
Wir haben also: $B^TBx = [mm] \lambda [/mm] x$ und $<x,x> = 1$
So mit all dem was ich Dir geschrieben habe rechne mal
[mm] $\lambda [/mm] = [mm] <\lambda [/mm] x,x > = .... ???$
Wenn Du ??? richtig raus hast, siehst Du , dass [mm] \lambda [/mm] > 0 ist
FRED
> Mit dem Kern einer Matrix kenn
> ich mich noch nicht wirklich aus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Do 11.02.2010 | | Autor: | eLi |
> Also gut, wir wissen A ist invertierbar. Wenn nun [mm]x\in \IR^n[/mm]
> ist und [mm]Ax=0[/mm], so folgt doch: x=0. Einverstanden ?
>
> O.K., dann ist also schon mal 0 kein Eigenwert von A. Ist
> doch schon mal was.
Wieso folgt aus x = 0, dass 0 kein Eigenwert von A ist? Dass 0 kein Eigenwert von A ist, kann man ja auch daran erkennen, weil det(A - [mm] \lambda [/mm] E) = 0 ist und für [mm] \lambda [/mm] = 0 würde ja gelten, dass det(A) = 0 ist, was aber im widerspruch zur Ausgangslage (A ist invertierbar) ist. Also kann 0 kein Eigenwert von A sein
> So, jetzt knöpfen wir uns einen Eigenwert [mm]\lambda[/mm] von A
> vor. Nach obigem wissen wir, dass [mm]\lambda \ne 0[/mm] ist. Weiter
> verschaffen wir uns einen Eigenvektor x zum Eigenwert
> [mm]\lambda,[/mm] von dem wir annehmen können, dass er die
> euklidische Länge 1 hat.
> Wir haben also: [mm]B^TBx = \lambda x[/mm] und [mm] = 1[/mm]
>
> So mit all dem was ich Dir geschrieben habe rechne mal
>
> [mm]\lambda = <\lambda x,x > = .... ???[/mm]
>
> Wenn Du ??? richtig raus hast, siehst Du , dass [mm]\lambda[/mm] > 0
> ist
>
Diesen Schritt kann ich nich ganz nachvollziehen, warum tun wir das? Und was bedeutet die Rechenoperation [mm]\lambda = <\lambda x,x > = .... ???[/mm]?
Sorry für die vielen Nachfragen.
Grüße
eLi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Do 11.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Also gut, wir wissen A ist invertierbar. Wenn nun [mm]x\in \IR^n[/mm]
> > ist und [mm]Ax=0[/mm], so folgt doch: x=0. Einverstanden ?
> >
> > O.K., dann ist also schon mal 0 kein Eigenwert von A. Ist
> > doch schon mal was.
>
> Wieso folgt aus x = 0, dass 0 kein Eigenwert von A ist?
Da A invertierbar ist, folgt aus Ax = 0 stets x=0. Wäre nun 0 ein Eigenwert von A, so gäbe es ein x [mm] \not= [/mm] 0 mit Ax = 0*x=0
Jetzt Klar ?
> Dass 0 kein Eigenwert von A ist, kann man ja auch daran
> erkennen, weil det(A - [mm]\lambda[/mm] E) = 0 ist und für [mm]\lambda[/mm]
> = 0 würde ja gelten, dass det(A) = 0 ist, was aber im
> widerspruch zur Ausgangslage (A ist invertierbar) ist. Also
> kann 0 kein Eigenwert von A sein
Na also, so kann man auch argumentieren
>
> > So, jetzt knöpfen wir uns einen Eigenwert [mm]\lambda[/mm] von A
> > vor. Nach obigem wissen wir, dass [mm]\lambda \ne 0[/mm] ist. Weiter
> > verschaffen wir uns einen Eigenvektor x zum Eigenwert
> > [mm]\lambda,[/mm] von dem wir annehmen können, dass er die
> > euklidische Länge 1 hat.
>
> > Wir haben also: [mm]B^TBx = \lambda x[/mm] und [mm] = 1[/mm]
> >
> > So mit all dem was ich Dir geschrieben habe rechne mal
> >
> > [mm]\lambda = <\lambda x,x > = .... ???[/mm]
> >
> > Wenn Du ??? richtig raus hast, siehst Du , dass [mm]\lambda[/mm] > 0
> > ist
> >
>
> Diesen Schritt kann ich nich ganz nachvollziehen, warum tun
> wir das? Und was bedeutet die Rechenoperation [mm]\lambda = <\lambda x,x > = .... ???[/mm]?
Zunächst habe ich mit $<*.*> $ das Skalarprodukt auf [mm] \IR^n [/mm] bezeichnet.
Dann habe ich einen Eigenvektor x zum Eigenwert [mm] \lambda [/mm] hergenommen.
Den kann ich getrost so wählen, dass $<x,x>=1$ ist
Dann folgt:
[mm] $\lambda [/mm] = [mm] \lambda* [/mm] = [mm] <\lambda [/mm] x,x> = <Ax,x> = <B^TBx,x> = <Bx,Bx>$
Und weil B invertierbar und x [mm] \ne [/mm] 0 ist, ist auch Bx [mm] \ne [/mm] 0, somit ist <Bx,Bx> positiv
FRED
>
> Sorry für die vielen Nachfragen.
>
> Grüße
> eLi
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Do 18.02.2010 | | Autor: | wieschoo |
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> Und weil B invertierbar und x [mm]\ne[/mm] 0 ist, ist auch Bx [mm]\ne[/mm] 0,
> somit ist <Bx,Bx> positiv
>
> FRED
>
<Bx,Bx> ist Für alle B,x positiv. Ist ja ein Axiom vom Skalarprodukt. Diese Aussage hätte ich ohne alles andere auch treffen können. Das heißt ja noch lange nicht x>0. Oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 Do 18.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
da stand doch am Anfang der Gleichungskette ein [mm] \lambda!
[/mm]
lies die posts doch was sorgfältiger!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:28 Do 18.02.2010 | | Autor: | wieschoo |
Sorry. Ok. Nehm alles zurück und behaupte das Gegenteil.
Hab ich irgendwie nicht voll wahr genommen.
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