Eigenwerte < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:39 Fr 16.04.2010 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle,
ich habe eine Matrix [mm] $A\in\IR^{2m\times 2m}$, [/mm] die auf der $m$-ten oberen Nebendiagonalen lauter $1$en und auf der $m$-ten unteren Nebendiagonalen lauter $c$'s mit [mm] $c\in\IC$ [/mm] stehen hat, also die Form
[mm] $A:=\pmat{ 0 & I \\ cI & 0 }\in\IR^{2m\times 2m}$
[/mm]
besitzt, wobei [mm] $I,0\in\IR^{m\times m}$ [/mm] und [mm] $c\in\IC$. [/mm] Lassen sich die Eigenwerte dieser Matrix explizit angeben, z.B. durch Berechnung des charakteristischen Polynoms? Wie sehen die Eigenwerte genau aus?
Danke fuer die Unterstuetzung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:51 Fr 16.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A, dann gibt es x,y [mm] \in \IR^n [/mm] mit:
[mm] $\vektor{x \\ y} \ne [/mm] 0$ und [mm] $A*\vektor{x \\ y}= \lambda*\vektor{x \\ y}$.
[/mm]
Wegen der speziellen Gestalt von A hast Du: [mm] $A*\vektor{x \\ y}= \vektor{y \\ cx}$, [/mm] also
[mm] $\vektor{y \\ cx}= \lambda*\vektor{x \\ y}$.
[/mm]
Jetzt bist Du dran (um Fallunterscheidungen wirst Du nicht herumkommen)
FRED
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