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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Fr 10.09.2010 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle,
kurze Frage: Sei [mm] $B\in\IR^{m\times m}$ [/mm] eine quadratische, reelle, positiv definite Matrix, wobei [mm] $m\in\IN$. [/mm] Weiter seien [mm] $0\neq c\in\IR$ [/mm] und [mm] $n\in\IZ$ [/mm] beliebig. $i$ kennzeichne die imaginaere Einheit. Betrachte die Matrix
[mm] $A_n:=-B-icn$
[/mm]
1. Welche Aussagen lassen sich ueber die Eigenwerte der folgenden Matrix fuer festes $n$ treffen?
2. Wie verhalten sich die Eigenwerte, wenn ich $n$ veraendere?
3. Laesst sich fuer die Eigenwerte eine (allgemeine) Darstellung angeben?
Randbemerkung: Die Matrix B ist die Jacobi-Matrix einer Funktion [mm] $f:\IR^m\rightarrow\IR^m$ [/mm] ausgewertet an einer Stelle [mm] $x_0\in\IR^m$.
[/mm]
4. Welche Bedingung koennte ich an $B$ stellen, um weitere bzw. ueberhaupt Aussagen ueber die Eigenwerte von [mm] $A_n$ [/mm] treffen zu koennen?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:33 Sa 11.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> kurze Frage: Sei [mm]B\in\IR^{m\times m}[/mm] eine quadratische,
> reelle, positiv definite Matrix, wobei [mm]m\in\IN[/mm]. Weiter
> seien [mm]0\neq c\in\IR[/mm] und [mm]n\in\IZ[/mm] beliebig. [mm]i[/mm] kennzeichne die
> imaginaere Einheit. Betrachte die Matrix
>
> [mm]A_n:=-B-icn[/mm]
>
> 1. Welche Aussagen lassen sich ueber die Eigenwerte der
> folgenden Matrix fuer festes [mm]n[/mm] treffen?
Wenn du die Eigenwerte von $B$ kennst, kannst du sie von [mm] $A_n$ [/mm] fuer jedes $n$ direkt hinschreiben. Ebenso die Eigenraeume und Hauptraeume.
> 2. Wie verhalten sich die Eigenwerte, wenn ich [mm]n[/mm]
> veraendere?
Sie aendern sich brav mit :)
Du kannst einfach nachrechnen: ist [mm] $\lambda$ [/mm] ein EW von $B$ mit Eigenvektor $v$, so ist $v$ ein Eigenvektor von [mm] $A_n$ [/mm] bzgl. dem Eigenwert [mm] $-\lambda [/mm] - i c n$.
> 3. Laesst sich fuer die Eigenwerte eine (allgemeine)
> Darstellung angeben?
In Bezug auf die von $B$? Ja.
> Randbemerkung: Die Matrix B ist die Jacobi-Matrix einer
> Funktion [mm]f:\IR^m\rightarrow\IR^m[/mm] ausgewertet an einer
> Stelle [mm]x_0\in\IR^m[/mm].
>
> 4. Welche Bedingung koennte ich an [mm]B[/mm] stellen, um weitere
> bzw. ueberhaupt Aussagen ueber die Eigenwerte von [mm]A_n[/mm]
> treffen zu koennen?
Das haengt von den Aussagen ab, die du treffen willst.
Ist die Matrix $B$ etwa symmetrisch, so hat fuer $n [mm] \neq [/mm] 0$ die Matrix [mm] $A_n$ [/mm] keine reellen Eigenwerte.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:00 Sa 11.09.2010 | | Autor: | Denny22 |
Moin,
super. Vielen Dank. Das sollte mir schon einmal weiterhelfen.
Alles Gute
Denny
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