Eigenwerte < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 Fr 24.06.2005 | | Autor: | holg47 |
Hallo!
Ich soll in einer Aufgabe beweisen, dass eine symmetrische Matrix (allgemeine symmetrische Matrix)
1. Eigenwerte besitzt
2. diese Eigenwerte ausschließlich positiv sind.
Ich hab schon in einigen Büchern gestöbert, aber ich finde keinen anschaulichen Beweis.
Vielen Dank!
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:21 Fr 24.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Und was ist mit der Matrix [mm] $A=\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & -1}$?
[/mm]
Die hat den zweifachen negativen Eigenwert $-1$ und ist symmetrisch.
Fehlt da vielleicht irgendwo ein "positiv definit"?
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Fr 24.06.2005 | | Autor: | holg47 |
Sorry, hab mich vertan!
Die Eigenwerte sollen reell sein!!
Also die Aufgabe lautet:
Ich soll in einer Aufgabe beweisen, dass eine symmetrische Matrix (allgemeine symmetrische Matrix)
1. Eigenwerte besitzt
2. diese Eigenwerte ausschließlich reell sind.
Vielen Dank!
|
|
|
| |
|
Salut!
Die Eigenwerte müssen alle reell sein, da für jede reelle, quadratische nxn-Matrix zusammen mit einem Eigenwert [mm] \lambda [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + [mm] i\omega [/mm] auch das komplex konjugierte [mm] \overline{\lambda} [/mm] = [mm] \alpha [/mm] - [mm] i\omega [/mm] Eigenwert ist.
Bv = [mm] \lambda*v, B\overline{v} [/mm] = [mm] \overline{\lambda*v} [/mm]
Aus der Symmetrie von B folgt sodann:
[mm] \overline{v}^{T}Bv [/mm] = [mm] v^{T}B\overline{v}, [/mm] also
[mm] \overline{v}^{T}v\lambda [/mm] = [mm] v^{T} \overline{\lambda v}
[/mm]
mit anderen Worten: [mm] |v|\lambda [/mm] = [mm] |v|\overline{\lambda}
[/mm]
und somit [mm] \lambda [/mm] = [mm] \overline{\lambda}
[/mm]
=> [mm] \lambda [/mm] ist reell.
Au revoir!
|
|
|
| |
|
Hallo.
Es gibt zu deiner 1. Teilaufgabe einen Beweis, der die algebraische Abgeschlossenheit von [mm] \IC [/mm] benutzt.
Du betrachtest einfach deine symmetrische Matrix mit reellen Einträgen als Matrix über [mm] \IC, [/mm] das charakteristische Polynom dieser MAtrix hat natürlich über [mm] \IC [/mm] Nullstellen, also gibt es Eigenwerte.
Ganz analog zu jeu_blanc kannst Du nun zeigen, daß diese Eigenwerte alle reell sein müssen.
Gruß,
Christian
|
|
|
|
