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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 So 05.02.2012 | | Autor: | Philphil |
| Aufgabe | Gegeben sei die n x n Matrix: [mm] \pmat{\lambda & 1 & & \\ & \lambda & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda}
[/mm]
[mm] \lambda \in \IC [/mm]
a)
Zeigen sie, dass [mm] \lambda [/mm] der einzige Eigenwert ist
Beweisen sie ferner, dass für n > 1 die Matrix nciht diagonalisierbar ist.
Bestimmen sie die geomatrische und algebraische Vielfachheit von [mm] \lambda [/mm] und verifizieren sie damit, dass die algebraische Vielfachheit echt größer ist als die geometrische Vielfachheit.
b) Beweisen sie, dass eine komplexe quadratische Matrix, welche nur einen Eigenwert besitzt, genau dann diagonalisierbar ist, wenn die algebraische und geometrische Vielfachheit echt größer ist als die geometrische Vielfachheit. |
Hallo,
ich benötige nochmals eure Hilfe.
Die a) habe ich eigentlich soweit verstanden (ich frag mich grad wieso ich die überhaupt abgetippt habe?!) jedenfalls komm cih bei der b) nicht weiter. Denn unter der Aufgabe steht eine Bemerkung:
"Die Aussage in Teil b) lässt sich wie folgt verallgemeinern: Eine komplexe quadratische Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn die algebraische und geometrische Vielfachheit jedes Eigenwertes übereinstimmt. Dies brauchen sie jedoch nciht zu beweisen."
Die Bemerkung verwirrt mich ein bisschen. Was genau soll ich denn da jetzt beweisen?!
Gruß Phil
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 So 05.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du sollst nicht den allgemeinen Satz beweisen sondern nur den Spezialfall, dass es nur einen EW gibt
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:53 So 05.02.2012 | | Autor: | Philphil |
Hallo,
könntest du mir noch ein Hinweis geben wie man so einen Beweis beginnt?
Gruß Phil
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> b) Beweisen sie, dass eine komplexe quadratische Matrix,
> welche nur einen Eigenwert besitzt, genau dann
> diagonalisierbar ist, wenn die algebraische und
> geometrische Vielfachheit echt größer ist als die
> geometrische Vielfachheit.
Hallo,
kannst Du den Aufgabentext nochmal prüfen?
Das ist doch Unfug - oder habe ich einen Sonnenstich?
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 So 05.02.2012 | | Autor: | Philphil |
oh ja hab ich mich noch vertippt :/
es muss natürlcih so heißen:
" Beweisen sie, dass eine komplexe quadratische Matrix, welche nur einen Eigenwert besitzt, genau dann diagonalisierbar ist, wenn die algebraische und geometrische Vielfachheit dieses Eigenwerts übereinstimmen."
Tut mir leid bin um eine Zeile verrutscht...
Gruß Phil
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 So 05.02.2012 | | Autor: | Philphil |
Hallo,
kannst du mir mit der richtigen Fragestellung jetzt weiterhelfen?
Gruß Phil
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:36 Mo 06.02.2012 | | Autor: | fred97 |
Sei A eine komplexe $n [mm] \times [/mm] n$ -Matrix mit nur einem Eigenwert [mm] \lambda_0.
[/mm]
Dann sieht das char. Polynom von A so aus: [mm] (\lambda [/mm] - [mm] \lambda_0)^n
[/mm]
Wie groß ist also die alg. Vielfachheit von [mm] \lambda_0 [/mm] ?
1. Sei A diagonalisierbar. Also gibt es eine Basis des [mm] \IC^n, [/mm] die nur aus Eigenvektoren von A besteht.
Wie groß ist dann $ [mm] \dim~ [/mm] kern(A- [mm] \lambda_0 [/mm] E)$ ?
2. Jetzt sei $ [mm] \dim~ [/mm] kern(A- [mm] \lambda_0 [/mm] E)=n$. Warum ist A nun diagonalisierbar ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:21 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Philphil |
Hallo,
zu 1) Wenn man eine Basis aus Eigenvektoren bilden kann, dann müsste der Kern doch nur den 0 Vektor enthalten. also Kern = {0}
zu 2) fällt mir nichts ein und ich finde nichts, aber wenn der Kern = n ist dann heißt dass doch, dass die Matrix nur aus null Zeilen besteht oder täusch ich mich da?
Gruß Phil
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:38 Mo 06.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> zu 1) Wenn man eine Basis aus Eigenvektoren bilden kann,
> dann müsste der Kern doch nur den 0 Vektor enthalten. also
> Kern = {0}
Unfug ! Sind [mm] b_1, [/mm] ....., [mm] b_n [/mm] lin. unabh. Eigenvektoren zum zum Eigenwert [mm] \lambda_0, [/mm] so ist doch [mm] Kern(A-\lambda_0E) [/mm] = [mm] \IC^n
[/mm]
>
> zu 2) fällt mir nichts ein und ich finde nichts, aber wenn
> der Kern = n ist dann heißt dass doch, dass die Matrix nur
> aus null Zeilen besteht oder täusch ich mich da?
?????
Wenn $ [mm] \dim~ [/mm] kern(A- [mm] \lambda_0 [/mm] E)=n $, so ist doch geom. Vielfachheit von [mm] \lambda_0 [/mm] = alg. Vielfachheit von [mm] \lambda_0
[/mm]
FRED
>
> Gruß Phil
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> " Beweisen sie, dass eine komplexe quadratische Matrix,
> welche nur einen Eigenwert besitzt, genau dann
> diagonalisierbar ist, wenn die algebraische und
> geometrische Vielfachheit dieses Eigenwerts
> übereinstimmen."
Hallo,
dacht' ich's mir doch...
Deine bisherigen Ansätze zur Lösung finde ich echt etwas mager. ein bißchen etwas hättest Du doch sicher zusammentragen können.
> komplexe quadratische Matrix,
> welche nur einen Eigenwert besitzt
charakteristisches Polynom?
> diagonalisierbar
Was bedeutet das? (Welche spezielle Basis gibt es in diesem Fall?)
Dann könnte man auch schonmal die beiden zu zeigenden Richtungen notieren und erste Versuche (mit den inzwischen gewonnenen Erkenntnissen) machen.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:37 Mo 06.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Angela,
>
> > b) Beweisen sie, dass eine komplexe quadratische Matrix,
> > welche nur einen Eigenwert besitzt, genau dann
> > diagonalisierbar ist, wenn die algebraische und
> > geometrische Vielfachheit echt größer ist als die
> > geometrische Vielfachheit.
>
> Hallo,
>
> kannst Du den Aufgabentext nochmal prüfen?
> Das ist doch Unfug - oder habe ich einen Sonnenstich?
es wird aber auch langsam wieder heiß...
Auch Unfug beweisen kann Spaß machen: Es ist $a > [mm] a\,$ [/mm] für alle $a [mm] \in \emptyset$ [/mm] 
Gruß,
Marcel
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