Eigenwerte,-raum,Diag. < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei K ein Körper. Man berechne das charakteristische Polynom, sowie die Eigenwerte und zugehörige Eigenräume, und untersuche auf Diagonalisierbarkeit.
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & -1 }\in K^{4x4}
[/mm]
Hinweis: Man unterscheide die Fälle [mm] 2=0\in [/mm] K und [mm] 2\not= 0\in [/mm] K |
Hallo!
Ich habe eine Frage zum Hinweis.
Soll man einmal die Matrix [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -1 } [/mm] untersuchen und dann [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & -1 }?
[/mm]
Bevor ich einfach drauf losrechne, wollte ich fragen, ob ich den Hinweis so richtig verstanden habe.
Nachdem ich den Hinweis verstanden habe, werde ich alles ausrechnen und hier posten.
Vielen Dank
TheBozz-mismo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:19 Di 25.05.2010 | | Autor: | wieschoo |
> Es sei K ein Körper. Man berechne das charakteristische
> Polynom, sowie die Eigenwerte und zugehörige Eigenräume,
> und untersuche auf Diagonalisierbarkeit.
> [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & -1 }\in K^{4x4}[/mm]
>
> Hinweis: Man unterscheide die Fälle [mm]2=0\in[/mm] K und [mm]2\not= 0\in[/mm]
Eigentlich soll man hier nur unterscheiden, ob die Charakteristik vom Körper gleich zwei oder ungleich zwei ist.
> K
> Hallo!
> Ich habe eine Frage zum Hinweis.
> Soll man einmal die Matrix [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -1 }[/mm]
> untersuchen und dann [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & -1 }?[/mm]
>
> Bevor ich einfach drauf losrechne, wollte ich fragen, ob
> ich den Hinweis so richtig verstanden habe.
Du kannst eigentlich erst [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & -1 }?[/mm] berechnen und hinterher wg. der Charakteristik deine Schlussfolgerungen ziehen.
>
> Nachdem ich den Hinweis verstanden habe, werde ich alles
> ausrechnen und hier posten.
> Vielen Dank
> TheBozz-mismo
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:40 Fr 28.05.2010 | | Autor: | pitta |
So ein Körper der Charakteristik 2, kann man den sich als Restklassenkörper modulo 2 vorstellen?
Also ist -1 immer gleich 1 und -2 immer gleich 2 also gleich 0 ?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:07 Fr 28.05.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo pitta,
> So ein Körper der Charakteristik 2, kann man den sich als
> Restklassenkörper modulo 2 vorstellen?
Der Restklassenring [mm] $\IZ/2\IZ$ [/mm] ist ein Beispiel für einen Körper der Charakteristik 2. Es gibt aber noch sehr viel mehr Körper der Charakteristik 2 (genauer gesagt gibt es unendlich viele paarweise nicht isomorphe Körper der Charakteristik 2).
> Also ist -1 immer gleich 1 und -2 immer gleich 2 also
> gleich 0 ?
Ja. Es gilt sogar für jedes Element a des Körpers $-a=a$ (denn a+a=1*a+1*a=(1+1)*a=0*a=0).
Viele Grüße
Tobias
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Naja, so ganz hab ich das nicht verstanden mit der Chrakteristik, aber ich rechne erstmal normal die Aufgabe.
Ich habe zuerst das charakterische Polynom aufgestellt
det( [mm] \pmat{ 2-\lambda & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 2-\lambda & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 2-\lambda & 0 \\ 2 & -1 & 0 & -1-\lambda })
[/mm]
Dann habe ich mit Laplace nach der 3. Spalte entwickelt und die 3x3-Matrix mit Sarrus gelöst. Am Ende habe ich [mm] x(x-2)^2(x^1) [/mm] erhalten und die Eigenwerte sind 0,1 und 2.
So, nun berechne ich die Eigenräume zu den Eigenwerten
Für [mm] \lambda=0 [/mm] muss ich ja für $ [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & -1 }\in K^{4x4} [/mm] $ Lösungen finden. Nach Umformungen bekomme ich
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0}
[/mm]
Also ist der Eigenraum [mm] x\vektor{0 \\ -a \\ 0 \\ a}, [/mm] also hat die Dimension 1.
Für [mm] \lambda=0 [/mm] habe ich ein Problem, nach Umformungen erhalte ich [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}, [/mm] dass heißt, es gibt nur den Nullvektor,der dies löst, aber der Nullvektor ist nie ein EIgenraum, also gibt es keinen Eigenraum?
Kann man daraus schließen, dass die Matrix nicht diagonalisierbar ist? Die algebrarische Vielfachheit ist 1, die geometrische 0 und deswegen ist die geometrische Vielfachheit echt kleiner als die algebrarische und deswegen ist die Matrix nicht daigonalisierbar.
Kann mir einer sagen, ob das so ungefähr richtig ist? Kann mir wer helfen und vielleicht nochmal sagen, wie ich den Hinweis miteinbeziehen soll?
Vielen Dank für jede Hilfe
TheBozz-mismo
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Hallo The BozzMismo,
> Naja, so ganz hab ich das nicht verstanden mit der
> Chrakteristik, aber ich rechne erstmal normal die Aufgabe.
>
> Ich habe zuerst das charakterische Polynom aufgestellt
> det( [mm]\pmat{ 2-\lambda & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 2-\lambda & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 2-\lambda & 0 \\ 2 & -1 & 0 & -1-\lambda })[/mm]
>
> Dann habe ich mit Laplace nach der 3. Spalte entwickelt und
> die 3x3-Matrix mit Sarrus gelöst. Am Ende habe ich
> [mm]x(x-2)^2(x^1)[/mm] ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Was ist x?
Ich komme auf [mm] $\lambda(\lambda-1)(\lambda-2)^2$
[/mm]
> erhalten und die Eigenwerte sind 0,1 und 2. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Dann hast du dich nur vertippt!
> So, nun berechne ich die Eigenräume zu den Eigenwerten
> Für [mm]\lambda=0[/mm]
> muss ich ja für [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & -1 }\in K^{4x4}[/mm]
> Lösungen finden.
Besser: Den Kern dieser Matrix bestimmen
> Nach Umformungen bekomme ich
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0}[/mm]
+ eine Nullzeile
Das stimmt, soweit ich das sehen kann!
>
> Also ist der Eigenraum die Menge aller ... mit [mm] a\in [/mm] K [mm]\vektor{0 \\ -a \\ 0 \\ a},[/mm] also
> hat die Dimension 1.
Ja, muss ja, [mm] \lambda=0 [/mm] ist ja einfacher Eigenwert
>
> Für [mm]\lambda=0[/mm] habe ich ein Problem, nach Umformungen
?? Das hast du doch just in dem Schritt oben berechnet!!
Wieso nochmal???
Spannend ist allein, ob der Eigenraum zum Eigenwert [mm] $\lambda=2$ [/mm] auch Dimension 2 hat.
Die Eigenräume zu einfachen Eigenwerten sind doch stets eindim.
> erhalte ich [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1},[/mm]
> dass heißt, es gibt nur den Nullvektor,der dies löst,
> aber der Nullvektor ist nie ein EIgenraum, also gibt es
> keinen Eigenraum?
> Kann man daraus schließen, dass die Matrix nicht
> diagonalisierbar ist? Die algebrarische Vielfachheit ist
> 1, die geometrische 0
Das kann nicht sein...
> und deswegen ist die geometrische
> Vielfachheit echt kleiner als die algebrarische und
> deswegen ist die Matrix nicht daigonalisierbar.
Unsinn
>
> Kann mir einer sagen, ob das so ungefähr richtig ist?
Sehr entfernt ...
> Kann
> mir wer helfen und vielleicht nochmal sagen, wie ich den
> Hinweis miteinbeziehen soll?
Ich hab's nicht gerechnet, aber ich vermute stark, dass das mit dem Eigenraum zum Eigenwert [mm] $\lambda=2$ [/mm] zusammenhängt.
Der hat ja algebr. VFH 2 (da doppelte NST im char. Polynom).
Rechne mal den Eigenraum aus, ich würde wetten, dass char K=2 oder char [mm] K\neq [/mm] 2 da eine Rolle spielt.
Aber rechne du das mal vor, dann sehen wir weiter ...
>
> Vielen Dank für jede Hilfe
>
> TheBozz-mismo
Gruß
schachuzipus
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Hi, sorry, hatte mich vorhin verschrieben bei der Determinante des charakteristischen Polynoms.
Also
> Ich komme auf [mm]\lambda(\lambda-1)(\lambda-2)^2[/mm]
>
Genau das ist die Gleichung, die ich auch hatte. Da sieht man ja schon, dass bei [mm] \lambda=2 [/mm] eine doppelte Nullstelle vorliegt, also algebrarische Vielfachheit 2
> > erhalten und die Eigenwerte sind 0,1 und 2.
> > muss ich ja für [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & -1 }\in K^{4x4}[/mm]
> > Lösungen finden.
>
> Besser: Den Kern dieser Matrix bestimmen
>
Ok, stimmt, hatten wir auch in der Vorlesung
> Spannend ist allein, ob der Eigenraum zum Eigenwert
> [mm]\lambda=2[/mm] auch Dimension 2 hat.
>
> Die Eigenräume zu einfachen Eigenwerten sind doch stets
> eindim.
Ist das definitiv richtig? Das brauch man die nicht immer ausrechnen(spart Zeit)
So, nun nochmal, diesamla berechne ich die Eigenräume der Eigenwerte:
Für [mm] \lambda=0 [/mm] hatte ich ja [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & -1 } =\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }, [/mm] also ist die Lösung
x* [mm] \pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 }, [/mm] also eindimensional
Für [mm] \lambda=1 [/mm] berechne ich die wieder die Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & 0 }=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 }=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 } [/mm] und dann gibt es nur die triviale Lösung
Was hab ich falsch gemacht?
Für [mm] \lambda=2 [/mm] muss man den kern von dieser Matrix berechnen:
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & 1 }=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }, [/mm] dass heißt, die Lösung ist [mm] x*\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] und dies ist doch auch eindimensional, demnach wäre geometrische Vielfachheit 1, also echt kleiner als algebrarische, demnach ist die Matrix nicht diagonalisierbar.
Hoffe, die Matrixumformungen sind klar.
Wär schön, wenn mir einer helfen kann und wie ich den Hinweis der Aufgabe verarbeiten soll
Vielen Dank schonmal
Gruß
TheBozz-mismo
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Hallo nochmal,
> Hi, sorry, hatte mich vorhin verschrieben bei der
> Determinante des charakteristischen Polynoms.
> Also
> > Ich komme auf [mm]\lambda(\lambda-1)(\lambda-2)^2[/mm]
> >
> Genau das ist die Gleichung, die ich auch hatte. Da sieht
> man ja schon, dass bei [mm]\lambda=2[/mm] eine doppelte Nullstelle
> vorliegt, also algebrarische Vielfachheit 2
> > > erhalten und die Eigenwerte sind 0,1 und 2.
>
> > > muss ich ja für [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & -1 }\in K^{4x4}[/mm]
> > > Lösungen finden.
> >
> > Besser: Den Kern dieser Matrix bestimmen
> >
> Ok, stimmt, hatten wir auch in der Vorlesung
>
> > Spannend ist allein, ob der Eigenraum zum Eigenwert
> > [mm]\lambda=2[/mm] auch Dimension 2 hat.
> >
> > Die Eigenräume zu einfachen Eigenwerten sind doch stets
> > eindim.
> Ist das definitiv richtig? Das brauch man die nicht immer
> ausrechnen(spart Zeit)
Naja, du weißt zwar, dass der Eigenraum eindim. ist, kennst aber ohne Rechnung keine Basis (und die brauchst du ja zB für die Diagonalisierung)
>
> So, nun nochmal, diesamla berechne ich die Eigenräume der
> Eigenwerte:
> Für [mm]\lambda=0[/mm] hatte ich ja [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & -1 } =\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 },[/mm]
> also ist die Lösung
> x* [mm]\pmat{ 0 \\ 1 \\ 0 \\ -1 },[/mm] also eindimensional
Soll wohl stimmen, ich vertraue auf deine Rechenkünste ...
Tut's auch 
>
> Für [mm]\lambda=1[/mm] berechne ich die wieder die Matrix
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & \red{0} }[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Bei mir steht da [mm] $\red{-1-\lambda=-1-1=-2}$
[/mm]
Und damit gibt's auch eine Nullzeile ...
> [mm] =\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 }=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }[/mm]
> und dann gibt es nur die triviale Lösung
> Was hab ich falsch gemacht?
Tja ...
>
> Für [mm]\lambda=2[/mm] muss man den kern von dieser Matrix
> berechnen:
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & 1 }=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 },[/mm]
> dass heißt, die Lösung ist [mm]x*\pmat{ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 }[/mm]
> und dies ist doch auch eindimensional, demnach wäre
> geometrische Vielfachheit 1, also echt kleiner als
> algebrarische, demnach ist die Matrix nicht
> diagonalisierbar.
Ja, für char [mm] K\neq [/mm] 2
Schaue dir die Matrix [mm] $A-2\cdot{}\mathbb{E}_4$ [/mm] mal an für char K=2
Dann gibt's 2 Nullzeilen, die Matrix ist also in diesem Falle diagonalisierbar
>
> Hoffe, die Matrixumformungen sind klar.
>
> Wär schön, wenn mir einer helfen kann und wie ich den
> Hinweis der Aufgabe verarbeiten soll
>
> Vielen Dank schonmal
>
> Gruß
> TheBozz-mismo
LG
schachuzipus
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Hi, vielen Dank.
Danke, immer diese kleinen Rechenfehler...danke, dass du mir den Fehler gezeigt hast.
Noch eine frage oder Bestätigung:
> Ja, für char [mm]K\neq[/mm] 2
>
> Schaue dir die Matrix [mm]A-2\cdot{}\mathbb{E}_4[/mm] mal an für
> char K=2
>
> Dann gibt's 2 Nullzeilen, die Matrix ist also in diesem
> Falle diagonalisierbar
Also mit char K = 2 meinst du die Matrix [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -1 }, [/mm] also überall, wo ne 2 steht, schreibt man eine 0, kann man sich das so wie bei Restklassen vorstellen? Aber -2 gehört nicht dazu, oder?
Genau dann hat man 2 Nullzeilen und dann wäre sie diagonalisierbar
Gruß
TheBozz-mismo
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Hallo,
> Hi, vielen Dank.
>
> Danke, immer diese kleinen Rechenfehler...danke, dass du
> mir den Fehler gezeigt hast.
>
> Noch eine frage oder Bestätigung:
>
> > Ja, für char [mm]K\neq[/mm] 2
> >
> > Schaue dir die Matrix [mm]A-2\cdot{}\mathbb{E}_4[/mm] mal an für
> > char K=2
> >
> > Dann gibt's 2 Nullzeilen, die Matrix ist also in diesem
> > Falle diagonalisierbar
> Also mit char K = 2 meinst du die Matrix [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -1 },[/mm]
> also überall, wo ne 2 steht, schreibt man eine 0, kann man
> sich das so wie bei Restklassen vorstellen?
Ganz genau!
> Aber -2 gehört
> nicht dazu, oder?
Naja, -2 entspricht wieder 0, -1 entspricht 1
Alle ungeraden Zahlen entsprechen 1, alle geraden der 0
Denke dir, es seind Restklassen modulo2
Die Matrix lautet dann also komplett vereinfacht
[mm] $\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 }$
[/mm]
>
> Genau dann hat man 2 Nullzeilen und dann wäre sie
> diagonalisierbar
Ja!
>
> Gruß
> TheBozz-mismo
Ebenso und schönen Abend noch.
Bin dann mal weg
cu
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:02 Sa 29.05.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Genau dann hat man 2 Nullzeilen und dann wäre sie
> diagonalisierbar
Nach meiner Rechnung betragen im Falle von Charakteristik 2 die geometrischen Vielfachheiten zu den Eigenwerten 0=2 und 1 gerade 2 und 1. Wenn ich mich nicht vertan habe, ist die Matrix also auch im Falle von Charakteristik 2 nicht diagonalisierbar.
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Hallo Tobias,
> > Genau dann hat man 2 Nullzeilen und dann wäre sie
> > diagonalisierbar
> Nach meiner Rechnung betragen im Falle von Charakteristik
> 2 die geometrischen Vielfachheiten zu den Eigenwerten 0=2
> und 1 gerade 2 und 1. Wenn ich mich nicht vertan habe, ist
> die Matrix also auch im Falle von Charakteristik 2 nicht
> diagonalisierbar.
Du hast vollkommen recht.
Ich hatte das ja wie geasgt nicht nachgerechnet, sondern meine Aussage bzgl. der Diagoalisierbarkeit im Falle charK=2 "nur" vermutet ...
Ich hätte besser mal nachgerechnet
Danke für's Aufpassen
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:56 Sa 29.05.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo TheBozz-mismo,
> So, nun nochmal, diesamla berechne ich die Eigenräume der
> Eigenwerte:
> Für [mm]\lambda=0[/mm] hatte ich ja [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & -1 } =\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 },[/mm]
Bitte kein Gleichheitszeichen setzen, wenn du Zeilenumformungen durchführst: Die beiden Matrizen sind offenbar NICHT gleich. Bei der Zeilenumformung hast du offenbar unter anderem Zeilen durch 2 geteilt. Das geht nur, wenn [mm] $2\not=0$ [/mm] ist. Hier ist also eine Fallunterscheidung nach Charakteristik 2 oder ungleich 2 hilfreich.
> Für [mm]\lambda=2[/mm] muss man den kern von dieser Matrix
> berechnen:
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & \red{1} }=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }=\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 },[/mm]
An der rot markierten Stelle hast du dich genauso vertan wie für [mm] $\lambda=0$. [/mm] Im letzten Schritt hast du anscheinend wieder durch 2 geteilt, was wieder nur für den Fall einer Charakteristik ungleich 2 geht. Den Fall Charakteristik 2 brauchst du hier aber auch gar nicht mehr zu betrachten: Der Eigenraum zum Eigenwert [mm] $\lambda=2$ [/mm] ist im Falle $2=0$ ja nichts anderes als der schon berechnete Eigenraum zum Eigenwert [mm] $\lambda=0$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 Sa 29.05.2010 | | Autor: | pitta |
wenn char K = 2, dann ist die algebraische Vielfachheit von 0 ja 3!
Um den Eigenraum zu berechen, muss man, wie oben schon erwähnt, folgendes berechnen:
Kern ( [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1} [/mm] ), was meiner Meinung nach das erzeugnis folgender Vektoren ist:
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 1} [/mm] , also wäre geometr. vielfachheit 2, also nicht diagonalisierbar!
Oder muss, da -1=1 gilt, der kern von folgenden vekotren aufgespannt werden:
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] und A ist deshalb doch diagonlaisierbar?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 Sa 29.05.2010 | | Autor: | tobit09 |
> wenn char K = 2, dann ist die algebraische Vielfachheit von
> 0 ja 3!
Genau!
> Um den Eigenraum zu berechen, muss man, wie oben schon
> erwähnt, folgendes berechnen:
>
> Kern ( [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1}[/mm]
> ), was meiner Meinung nach das erzeugnis folgender Vektoren
> ist:
>
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> , also wäre geometr. vielfachheit 2, also nicht
> diagonalisierbar!
Alles korrekt!
Wegen -1=1 kannst du den zweiten Vektor auch in der Form [mm] $\vektor{0\\1\\0\\1}$ [/mm] schreiben.
> Oder muss, da -1=1 gilt, der kern von folgenden vekotren
> aufgespannt werden:
>
> [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> und [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
Nein, die hinteren beiden Vektoren liegen gar nicht im Kern.
> und A ist deshalb doch
> diagonlaisierbar?
Das ist folgerichtig, aber falsch.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:41 Sa 29.05.2010 | | Autor: | pitta |
ok... vielen dank...
war verwirrt, weil oben gesgat wurde, dass A diagonalisierbar ist, wenn char K = 2
Gruß
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