Eigenwerte AB und BA < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei $K$ ein Körper.
Seien [mm] $A,B\inK^{n\times n}
[/mm]
$(a)$ Zeigen Sie, dass $( I-BA)$ invertierbar ist, falls $(I-AB)$ invertierbar ist.
Hinweis: Falls (I-BA) invertierbar ist, [mm] $$(I-BA)^{-1}=I+B(I-AB)^{-1}A.$$
[/mm]
$(b)$ Zeigen Sie, dass $AB$ und $BA$ immer die gleichen Eigenwerte haben.
$(c)$ Haben $AB$ und $BA$ immer die gleichen Eigenvektoren? |
Hallo zusammen,
ich arbeite gerade an dieser Aufgabe und komme bei der c) einfach nicht weiter.
Bei der Teilaufgabe a) habe ich bisher folgendes Ergebnis:
z.Z: [mm] $(I-BA)^{-1}*(I-BA)=I=(I-BA)*(I-BA)^{-1}$
[/mm]
[mm] $(I-BA)^{-1}*(I-BA)$
[/mm]
[mm] $=(I+B(I-AB)^{-1}A)*(I-BA)$
[/mm]
[mm] $=I-BA+B(I-AB)^{-1}A-B(I-AB)^{-1}ABA \\
[/mm]
[mm] =I-BA+B(I-AB)^{-1}(A-ABA) \\
[/mm]
[mm] =I-BA+B(I-AB)^{-1}((I-AB)A) \\
[/mm]
[mm] =I-BA+B((I-AB)^{-1}(I-AB))A \\$
[/mm]
$=I-BA+BA =I $
[mm] $(I-BA)*(I-BA)^{-1}\\
[/mm]
[mm] =(I-BA)*(I+B(I-AB)^{-1}A)\\
[/mm]
[mm] =I-BA+B(I-AB)^{-1}A-BAB(I-AB)^{-1}A\\
[/mm]
[mm] =I-BA+(B-BAB)(I-AB)^{-1}A\\
[/mm]
[mm] =I-BA+B(I-AB)(I-AB)^{-1}A\\$
[/mm]
$=I-BA+BA =I $
Zur Teilaufgabe b) habe ich:
1.Fall: $rang(B)=n$:
[mm] $\Rightarrow p_{AB}=det(AB-I\lambda)
[/mm]
[mm] =det((A-I*\lambda B^{-1})B)
[/mm]
[mm] =det((A-I*\lambda B^{-1})*det(B)
[/mm]
[mm] =det(B)*det((A-I*\lambda B^{-1})
[/mm]
[mm] =det(B)*det((A-I*B^{-1}*\lambda)
[/mm]
[mm] =det(BA-I*\lambda)=p_{BA}$
[/mm]
2.Fall: $rang(A)=n$
[mm] $\Rightarrow p_{AB}=det(AB-I\lambda)
[/mm]
[mm] =det(A(B-A^{-1}*I*\lambda))
[/mm]
[mm] =det(A)*det(B-A^{-1}*I*\lambda)
[/mm]
[mm] =det(B-A^{-1}*I*\lambda)*det(A)
[/mm]
[mm] =det(BA-I*\lambda)$
[/mm]
Hier fehlt mir noch der dritte Fall für [mm] $rang(A)\neq [/mm] n [mm] \wedge rang(B)\neq [/mm] n$
Kann mir hier vllt jemand helfen?
Und bei der c) weiß ich gar nicht weiter.
Vielen Dank für die Hilfe
lG
Dudi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:26 Mo 11.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]K[/mm] ein Körper.
> Seien [mm]$A,B\inK^{n\times n}[/mm]
> [mm](a)[/mm] Zeigen Sie, dass [mm]( I-BA)[/mm]
> invertierbar ist, falls [mm](I-AB)[/mm] invertierbar ist.
> Hinweis: Falls (I-BA) invertierbar ist,
> [mm](I-BA)^{-1}=I+B(I-AB)^{-1}A.[/mm]
> [mm](b)[/mm] Zeigen Sie, dass [mm]AB[/mm] und [mm]BA[/mm] immer die gleichen
> Eigenwerte haben.
> [mm](c)[/mm] Haben [mm]AB[/mm] und [mm]BA[/mm] immer die gleichen Eigenvektoren?
>
> Hallo zusammen,
> ich arbeite gerade an dieser Aufgabe und komme bei der c)
> einfach nicht weiter.
>
> Bei der Teilaufgabe a) habe ich bisher folgendes Ergebnis:
> z.Z: [mm](I-BA)^{-1}*(I-BA)=I=(I-BA)*(I-BA)^{-1}[/mm]
> [mm](I-BA)^{-1}*(I-BA)[/mm]
> [mm]=(I+B(I-AB)^{-1}A)*(I-BA)[/mm]
So kannst du das nicht aufschreiben! Da verwendest du doch implizit (dadurch, dass du $(I - B [mm] A)^{-1}$ [/mm] schreibst), dass $I - B A$ bereits invertierbar ist!
Du musst zeigen: es gibt eine Matrix $C$ (diese kannst du explizit durch $C := I + B (I - A [mm] B)^{-1} [/mm] A$ angeben) mit $C [mm] \cdot [/mm] (I - B A) = I = (I - B A) [mm] \cdot [/mm] C$.
Die Rechnung ist ziemlich identisch mit dem, was du bisher hier gerechnet hast.
> [...]
>
> Zur Teilaufgabe b) habe ich:
> 1.Fall: [mm]rang(B)=n[/mm]:
> [mm]$\Rightarrow p_{AB}=det(AB-I\lambda)[/mm]
> [mm]=det((A-I*\lambda B^{-1})B)[/mm]
>
> [mm]=det((A-I*\lambda B^{-1})*det(B)[/mm]
> [mm]=det(B)*det((A-I*\lambda B^{-1})[/mm]
>
> [mm]=det(B)*det((A-I*B^{-1}*\lambda)[/mm]
> [mm]=det(BA-I*\lambda)=p_{BA}$[/mm]
>
> 2.Fall: [mm]rang(A)=n[/mm]
> [mm]$\Rightarrow p_{AB}=det(AB-I\lambda)[/mm]
>
> [mm]=det(A(B-A^{-1}*I*\lambda))[/mm]
> [mm]=det(A)*det(B-A^{-1}*I*\lambda)[/mm]
> [mm]=det(B-A^{-1}*I*\lambda)*det(A)[/mm]
> [mm]=det(BA-I*\lambda)$[/mm]
>
> Hier fehlt mir noch der dritte Fall für [mm]rang(A)\neq n \wedge rang(B)\neq n[/mm]
Du brauchst die Fallunterscheidung nicht.
Du willst zeigen: [mm] $\det(A [/mm] B - [mm] \lambda [/mm] I) = 0 [mm] \Leftrightarrow \det(B [/mm] A - [mm] \lambda [/mm] I)$.
Falls [mm] $\lambda \neq [/mm] 0$ ist, kannst du es durch einfaches Umformen und der Aequivalenz [mm] "$\det(C) [/mm] = 0 [mm] \Leftrightarrow [/mm] C [mm] \text{ nicht invertierbar}$" [/mm] zeigen.
Fuer [mm] $\lambda [/mm] = 0$ musst du direkt mit $A B$ und $B A$ arbeiten. Der Fall ist mit der Multiplikativitaet der Determinante auch recht einfach.
> Und bei der c) weiß ich gar nicht weiter.
Finde ein konkretes Gegenbeispiel.
LG Felix
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> Moin!
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> > Sei [mm]K[/mm] ein Körper.
> > Seien [mm]$A,B\inK^{n\times n}[/mm]
> > [mm](a)[/mm] Zeigen Sie, dass [mm]( I-BA)[/mm]
> > invertierbar ist, falls [mm](I-AB)[/mm] invertierbar ist.
> > Hinweis: Falls (I-BA) invertierbar ist,
> > [mm](I-BA)^{-1}=I+B(I-AB)^{-1}A.[/mm]
> > [mm](b)[/mm] Zeigen Sie, dass [mm]AB[/mm] und [mm]BA[/mm] immer die gleichen
> > Eigenwerte haben.
> > [mm](c)[/mm] Haben [mm]AB[/mm] und [mm]BA[/mm] immer die gleichen Eigenvektoren?
> >
[...]
>
> So kannst du das nicht aufschreiben! Da verwendest du doch
> implizit (dadurch, dass du [mm](I - B A)^{-1}[/mm] schreibst), dass
> [mm]I - B A[/mm] bereits invertierbar ist
Okay, das heißt, ich muss hier einfach am Anfang mein [mm] $(I-BA)^{-1}$ [/mm] durch C ersetzen, dann passt es wieder?
>
> Du musst zeigen: es gibt eine Matrix [mm]C[/mm] (diese kannst du
> explizit durch [mm]C := I + B (I - A B)^{-1} A[/mm] angeben) mit [mm]C \cdot (I - B A) = I = (I - B A) \cdot C[/mm].
>
> Die Rechnung ist ziemlich identisch mit dem, was du bisher
> hier gerechnet hast.
>
> > [...]
> Du brauchst die Fallunterscheidung nicht.
>
> Du willst zeigen: [mm]\det(A B - \lambda I) = 0 \Leftrightarrow \det(B A - \lambda I)[/mm].
Okay, meinst du in etwa so:
Sei [mm] $\lambda\neq$:
[/mm]
$det(A)=0$ oder $det(B)=0$.
Da gilt, wenn A oder B nicht invertierbar ist, ist auch AB und auch BA nicht invertierbar folgt:
$det(AB)=det(BA)=0$
[mm] $\Rightarrow det(AB-\lambda [/mm] I)=det(- [mm] \lambda I)=det(BA-\lambda [/mm] I)$
Aber ich glaube ich hab deinen Tipp nicht richtig umgesetzt :-
> Falls [mm]\lambda \neq 0[/mm] ist, kannst du es durch einfaches
> Umformen und der Aequivalenz "[mm]\det(C) = 0 \Leftrightarrow C \text{ nicht invertierbar}[/mm]"
> zeigen.
>
> Fuer [mm]\lambda = 0[/mm] musst du direkt mit [mm]A B[/mm] und [mm]B A[/mm] arbeiten.
> Der Fall ist mit der Multiplikativitaet der Determinante
> auch recht einfach.
>
Das hier habe ich denke ich verstanden:
Für [mm] $\lambda [/mm] =0$ gilt:
[mm] $det(AB-\lambda [/mm] I)=det(AB)=det(A)* det(B) = det(B) * det(A) = det(BA)$
> > Und bei der c) weiß ich gar nicht weiter.
>
> Finde ein konkretes Gegenbeispiel.
okay, hier hätte ich folgendes Gegenbeispiel:
Seien [mm] $A:=\pmat{1&1\\0&0}, B:=\pmat{0&1\\0&1}$
[/mm]
Dann gilt:
[mm] $A*B=\pmat{1&1\\2&2}, B*A=\pmat{1&2\\1&2}$
[/mm]
Für die Eigenwerte ergeben sich:
[mm] $\lambda_1=3$
[/mm]
[mm] $\lambda_2=0$
[/mm]
Für die Eigenvektoren ergibt sich:
[mm] $Eig_{AB}(3)=\{\vektor{x_1\\x_2}|\vektor{x_1\\x_2}=s*\vektor{0,5\\1}\}$
[/mm]
[mm] $Eig_{AB}(0)=\{\vektor{x_1\\x_2}|\vektor{x_1\\x_2}=t*\vektor{-1\\1}\}$
[/mm]
[mm] $Eig_{BA}(3)=\{\vektor{x_1\\x_2}|\vektor{x_1\\x_2}=u*\vektor{1\\1}\}$
[/mm]
[mm] $Eig_{BA}(0)=\{\vektor{x_1\\x_2}|\vektor{x_1\\x_2}=s*\vektor{-2\\1}\}$
[/mm]
Somit wäre das bewiesen.
Passt das?
>
> LG Felix
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Di 12.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:19 Mo 18.06.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Sei [mm]K[/mm] ein Körper.
> > > Seien [mm]$A,B\inK^{n\times n}[/mm]
> > > [mm](a)[/mm] Zeigen Sie,
> dass [mm]( I-BA)[/mm]
> > > invertierbar ist, falls [mm](I-AB)[/mm] invertierbar ist.
> > > Hinweis: Falls (I-BA) invertierbar ist,
> > > [mm](I-BA)^{-1}=I+B(I-AB)^{-1}A.[/mm]
> > > [mm](b)[/mm] Zeigen Sie, dass [mm]AB[/mm] und [mm]BA[/mm] immer die gleichen
> > > Eigenwerte haben.
> > > [mm](c)[/mm] Haben [mm]AB[/mm] und [mm]BA[/mm] immer die gleichen
> Eigenvektoren?
> > >
> [...]
> >
> > So kannst du das nicht aufschreiben! Da verwendest du doch
> > implizit (dadurch, dass du [mm](I - B A)^{-1}[/mm] schreibst), dass
> > [mm]I - B A[/mm] bereits invertierbar ist
>
> Okay, das heißt, ich muss hier einfach am Anfang mein
> [mm](I-BA)^{-1}[/mm] durch C ersetzen, dann passt es wieder?
Genau.
> > Du musst zeigen: es gibt eine Matrix [mm]C[/mm] (diese kannst du
> > explizit durch [mm]C := I + B (I - A B)^{-1} A[/mm] angeben) mit [mm]C \cdot (I - B A) = I = (I - B A) \cdot C[/mm].
>
> >
> > Die Rechnung ist ziemlich identisch mit dem, was du bisher
> > hier gerechnet hast.
> >
> > > [...]
> > Du brauchst die Fallunterscheidung nicht.
> >
> > Du willst zeigen: [mm]\det(A B - \lambda I) = 0 \Leftrightarrow \det(B A - \lambda I)[/mm].
>
> Okay, meinst du in etwa so:
> Sei [mm]\lambda\neq[/mm]:
Ich nehme an, du bist beim Fall [mm] $\lambda [/mm] = 0$?
> [mm]det(A)=0[/mm] oder [mm]det(B)=0[/mm].
> Da gilt, wenn A oder B nicht invertierbar ist, ist auch AB
> und auch BA nicht invertierbar folgt:
> [mm]det(AB)=det(BA)=0[/mm]
Soweit ok.
Fuer [mm] $\lambda [/mm] = 0$ folgt also $0 = [mm] \det(A [/mm] B - [mm] \lambda [/mm] I) = [mm] \det(A [/mm] B) [mm] \Rightarrow \det(B [/mm] A - [mm] \lambda [/mm] I) = [mm] \det(B [/mm] A) = 0$.
> [mm]\Rightarrow det(AB-\lambda I)=det(- \lambda I)=det(BA-\lambda I)[/mm]
So solltest du es nicht aufschreiben.
> Aber ich glaube ich hab deinen Tipp nicht richtig umgesetzt
> :-
Wenn du den Fall [mm] $\lambda \neq [/mm] 0$ betrachten wolltest: nein.
> > Falls [mm]\lambda \neq 0[/mm] ist, kannst du es durch einfaches
> > Umformen und der Aequivalenz "[mm]\det(C) = 0 \Leftrightarrow C \text{ nicht invertierbar}[/mm]"
> > zeigen.
Du brauchst hier (a). Es gilt doch $A B - [mm] \lambda [/mm] I = [mm] \lambda (\frac{1}{\lambda} [/mm] A B - I)$. Und das ist genau dann invertierbar, wenn [mm] $(\frac{1}{\lambda} [/mm] A) B - I$ invertierbar ist. Das wiederum ist invertierbar genau dann (nach (a)), wenn $B [mm] (\frac{1}{\lambda} [/mm] A) - I = [mm] \frac{1}{\lambda} [/mm] B A - I$ invertierbar ist. Und das wiederum ist genau dann invertierbar, wenn [mm] $\lambda (\frac{1}{\lambda} [/mm] B A - I) = B A - [mm] \lambda [/mm] I$ invertierbar ist.
> > Fuer [mm]\lambda = 0[/mm] musst du direkt mit [mm]A B[/mm] und [mm]B A[/mm] arbeiten.
> > Der Fall ist mit der Multiplikativitaet der Determinante
> > auch recht einfach.
Das hast du oben schon gemacht.
> Das hier habe ich denke ich verstanden:
> Für [mm]\lambda =0[/mm] gilt:
> [mm]det(AB-\lambda I)=det(AB)=det(A)* det(B) = det(B) * det(A) = det(BA)[/mm]
Genau.
> > > Und bei der c) weiß ich gar nicht weiter.
> >
> > Finde ein konkretes Gegenbeispiel.
>
> okay, hier hätte ich folgendes Gegenbeispiel:
> Seien [mm]A:=\pmat{1&1\\0&0}, B:=\pmat{0&1\\0&1}[/mm]
> Dann gilt:
> [mm]A*B=\pmat{1&1\\2&2}, B*A=\pmat{1&2\\1&2}[/mm]
> Für die
> Eigenwerte ergeben sich:
> [mm]\lambda_1=3[/mm]
> [mm]\lambda_2=0[/mm]
> Für die Eigenvektoren ergibt sich:
>
> [mm]Eig_{AB}(3)=\{\vektor{x_1\\x_2}|\vektor{x_1\\x_2}=s*\vektor{0,5\\1}\}[/mm]
>
> [mm]Eig_{AB}(0)=\{\vektor{x_1\\x_2}|\vektor{x_1\\x_2}=t*\vektor{-1\\1}\}[/mm]
>
> [mm]Eig_{BA}(3)=\{\vektor{x_1\\x_2}|\vektor{x_1\\x_2}=u*\vektor{1\\1}\}[/mm]
>
> [mm]Eig_{BA}(0)=\{\vektor{x_1\\x_2}|\vektor{x_1\\x_2}=s*\vektor{-2\\1}\}[/mm]
>
> Somit wäre das bewiesen.
> Passt das?
Ja.
LG Felix
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