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Hallo,
ich habe einige Fragen zu Eigenwerten.
a) Bekannterweise besitzen ähnliche Matrizen gleiche Eigenwerte. Ich liege doch richtig, dass daraus NICHT folgt, dass diese auch gleiche Eigenvektoren besitzen und damit ein gemeinsames unitäres U, mit welchem sie sich auf Diagonalform bringen lassen?!
b) Eigenvektoren zu meiner Matrix A berechne ich ja über das char. Polynom:
$ [mm] det(A-\lambda [/mm] I)=0 $
Für die Dimension des Eigenraumes (= geom. Vielfachheit = Anzahl Eigenvektoren zu 1 Eigenwert [mm] \lambda) [/mm] gilt weiter:
[mm] dim(E_{\lambda}) [/mm] = [mm] \{\vec{x}| \mbox{ (A-\lambda I)\vec{x}=0}\}
[/mm]
Nun frage ich mich, wodurch die geometrische Vielfachheit bestimmt wird?
Denn: Das [mm] (A-\lambda I)\vec{x}=0 [/mm] stellt ja ein lineares Gleichungssystem (LGS) dar, mit [mm] B:=(A-\lambda [/mm] I). Die Lösungsvesktoren, die das homogene LGS [mm] B\vec{x}=0 [/mm] lösen, sind meine Eigenvektoren [mm] \vec{x}. [/mm] Die Dimension eines homogenen LGS ist gegeben durch #Spalten von B - Rang(B).
D.h. wodurch wird der Rang von B bestimmt, der ja ausschlaggebend dafür ist, ob 1 Eigenwert einen, zwei, oder wieviel auch immer Eigenvektoren besitzt? Wird also durch das Abziehen des berechneten Eigenwertes von der Diagonalen der Matrix A lineare abhängigkeiten geschaffen (nach welchem Prinzip?) ?
c) Hat ein EW die algebraische Vielfachheit 2, so ist doch nur bei hermiteschen Matrizen sicher, dass er auch die geom. Vielfachheit 2 hat?! Sprich: Algebraische = Geometrische Vielfachheit gilt nur bei hermiteschen Matrizen?!
OK, Teil b) ist etwas "wirr", vielleicht, weil ich mein Problem nicht genau in Worte fassen kann. :-O
Danke und Grüße.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> a) Bekannterweise besitzen ähnliche Matrizen gleiche
> Eigenwerte. Ich liege doch richtig, dass daraus NICHT
> folgt, dass diese auch gleiche Eigenvektoren besitzen
Hallo,
Ja.
Guck Dir [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 2 } [/mm] und [mm] \pmat{ 0 & -2 \\ 0 & 2 } [/mm] an.
Die beiden sind ähnlich, Eigenwerte 0 und 1, die Eigenräume sind nicht gleich.
>
> c) Hat ein EW die algebraische Vielfachheit 2, so ist doch
> nur bei hermiteschen Matrizen sicher, dass er auch die
> geom. Vielfachheit 2 hat?! Sprich: Algebraische =
> Geometrische Vielfachheit gilt nur bei hermiteschen
> Matrizen?!
Es gilt: diagonalisierbar <==> geometrische und algebraische Vielfachheit sind gleich.
Es sind ja nicht nur hermitesche Matrizen diagonalisierbar.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Sa 31.03.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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