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| Aufgabe | Beweise oder Widerlegen sie:
a) Ist [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von [mm] \alpha [/mm] dann ist [mm] \lambda^2 [/mm] ein Eigenwert von [mm] \alpha \circ \alpha
[/mm]
b) ist [mm] \alpha [/mm] nicht injektiv, dann ist 0 ein eigenwert von [mm] \alpha [/mm]
c) Sind v,w Eigenvektoren von [mm] \alpha [/mm] zum Eigenwert [mm] \lambda,dann [/mm] ist auch v+w ein Eigenvektor von [mm] \alpha [/mm]
d) Ist V endlichdimensional, dann ist det [mm] (\alpha [/mm] ) ein Eigenwert von [mm] \alpha [/mm] |
a) kommt mir logisch vor, aber ich weis nicht wie man des zeigen kann!
ansatz war der bei mir: [mm] \alpha [/mm] v = [mm] \lambda [/mm] v, [mm] \alpha^2v [/mm] = [mm] \lamda^2 [/mm] v
aber wieter komm ich nicht!
b) und c) hab ich irgendwie garkeine ahnung wie man des machen soll!
d) [mm] det(\alpha) [/mm] berechnet man ja aus dem produkt der eigenwerte! d.h. det [mm] (\alpha) [/mm] kann keinEW sein! Gegenbeispiel: [mm] \pmat{ 2 & 0 \\ 0 & 4 } [/mm] ---> [mm] det(\alpha) [/mm] = 8 und 8 ist kein EW
Kann mir jemand weiter helfen? Danke!
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> Beweise oder Widerlegen sie:
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> a) Ist [mm]\lambda[/mm] ein Eigenwert von [mm]\alpha[/mm] dann ist [mm]\lambda^2[/mm]
> ein Eigenwert von [mm]\alpha \circ \alpha[/mm]
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> b) ist [mm]\alpha[/mm] nicht injektiv, dann ist 0 ein eigenwert von
> [mm]\alpha[/mm]
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> c) Sind v,w Eigenvektoren von [mm]\alpha[/mm] zum Eigenwert
> [mm]\lambda,dann[/mm] ist auch v+w ein Eigenvektor von [mm]\alpha[/mm]
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> d) Ist V endlichdimensional, dann ist det [mm](\alpha[/mm] ) ein
> Eigenwert von [mm]\alpha[/mm]
> a) kommt mir logisch vor, aber ich weis nicht wie man des
> zeigen kann!
> ansatz war der bei mir: [mm]\alpha[/mm] v = [mm]\lambda[/mm] v, [mm]\alpha^2v[/mm] =
> [mm]\lambda^2[/mm] v
> aber wieter komm ich nicht!
Hallo,
bis hierher ist's aber schon ganz gut.
Du hast also
[mm] \alpha v=\lambda [/mm] v und
[mm] \alpha^2 v=\lambda^2 [/mm] v.
Nach Voraussetzung ist [mm] \alpha^2=\apha.
[/mm]
Alos ist [mm] \lapha^2 [/mm] v=???
>
> b) und c) hab ich irgendwie garkeine ahnung wie man des
> machen soll!
zu b) Was ist mit dem Kern, wenn [mm] \alpha [/mm] nicht injektiv ist?
zu c) Wenn u und v Eigenvektoren sind zu [mm] \lambda, [/mm] so ist [mm] \alpha [/mm] u=??? und [mm] \alpha [/mm] v=???
Nun berechne [mm] \alpha [/mm] (u+v).
Auf d) kann ich mir im Moment keinen reim machen. Die richtige Aufgabenstellung wäre zu erforschen.
Gruß v. Angela
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[mm] a)\alpha\circ\alpha [/mm] = [mm] \alpha^2
[/mm]
-> [mm] \alpha^2 [/mm] = [mm] \lamda [/mm] *v [mm] *\lamda [/mm] *v = [mm] \lamda^2 [/mm] * [mm] v^2
[/mm]
so ungefähr?
b) der Kern ist doch dann nicht 0! d.h. 0 kann kein EW sein!
c) [mm] \alpha(v+w) [/mm] = [mm] \lamda(v+w) [/mm] --> [mm] \alpha [/mm] *v + [mm] \alpha [/mm] *w = [mm] \lamda [/mm] *v + [mm] \lamda [/mm] *w
kannst du mir nochmal weiter helfen? Danke!
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Oh Gott! Entschuldigung!
Ich habe Dich gerade motiviert, eine Aufgabe zu lösen, die da gar nicht stand - aber oft in dem Zusammenhang gestellt wird...
(Die Aufgabe heißt: zeige, daß für [mm] \alpha^2=\alpha [/mm] nur die Eigenwerte 0 und 1 vorkommen können.)
Mit
[mm] \alpha v=\lambda [/mm]
==> [mm] \alpha^2 v=\alpha(\alpha v)=\alpha (\lambda [/mm] v) [mm] =\lambda\alpha (v)=\lambda^2v
[/mm]
bist (und warst) Du bereits fix und fertig.
> b) der Kern ist doch dann nicht 0! d.h. 0 kann kein EW
> sein!
Doch gerade.
Nicht injektiv ==> Kern [mm] \not=0.
[/mm]
Das bedeutet, daß Du im Kern einen von Null verschiedenen Vektor v hast. [mm] (\not=0 [/mm] ist wichtig!)
Was ist nun [mm] \alpha [/mm] v ???
(Bedenke: 0=0*v)
>
> c) [mm]\alpha(v+w)[/mm] = [mm]\lambda (v+w)[/mm] --> [mm]\alpha[/mm] *v + [mm]\alpha[/mm] *w =
> [mm]\lambda[/mm] *v + [mm]\lambda[/mm] *w
>
Das ist noch zu aussageschwach. Du mußt es auf die Spitze treiben:
[mm] ...=\lambda [/mm] (u+v)
Also [mm] \alpha(v+w)=\lambda [/mm] (u+v), also ist u+v ein Eigenvektor.
Gruß v. Angela
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Ok hab soweit alle verstanden! Danke erstmal!
Zu b) also [mm] \lamda [/mm] muss ja Null sein weil ja v ungleich Null ist! des ist ja des was du in klammern geschrieben hast noch!
Ich komm grad nicht weiter mit [mm] \alpha [/mm] *v
also was man damit noch machen muss.
weil [mm] \alpha [/mm] *v wäre doch dann auch null durch des [mm] \lamda [/mm] = 0
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Hallo,
ich glaube, es ist zu einfach...
Wir sind uns einig: [mm] \alpha [/mm] nicht injektiv ==> [mm] kern\alpha\not=0.
[/mm]
Also gibt es einen Vektor [mm] v\not=0 [/mm] mit [mm] v\in kern\alpha.
[/mm]
==> [mm] \alpha [/mm] v=0 =0*v, und da [mm] v\not=0, [/mm] ist somit v ein Eigenvektor zum EW 0.
(Mit injektiven Funktionen klappt das nicht, da wir im Kern keinen von Null verschiedenen Vektor finden.)
Gruß v. Angela
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