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| Aufgabe | Man berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix
[mm] A=\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 }
[/mm]
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meine vorgehensweise:
[mm] A=\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 }
[/mm]
Zur ersten Zeile die dritte Zeile addiert: I+III:
[mm] A=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 }
[/mm]
Jetzt Zeilen vertauschen:
[mm] A=\pmat{ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Nun hab ich eine obere Dreiecksmatrix:
Somit sind die Diagonalelemente die Eigenvektoren:
Eigenvektoren: -1, 1, 0
(stimmt das denn? sind die diagonalelemente wirklich die eigenvektoren wenn ich eine obere bzw. untere dreiecksmatrix habe? oder kann ich das hier nicht sagen, sondern muss sie ausrechnen weil ich in der hauptdiagonalen eine 0 habe, und ich meine dass die Hauptdiagonale keine null enthalten darf damit man das so sagen kann.)
[mm] \vmat{ -1-\lambda & -1 & 1 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0-\lambda }
[/mm]
für [mm] \lambda_1=-1:
[/mm]
[mm] \vmat{ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
[mm] x_3=0
[/mm]
[mm] x_2=0
[/mm]
[mm] x_1=s\in\IR, [/mm] beliebig
[mm] \vec{X_{\lambda1}}=s*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
für [mm] \lambda_2=1:
[/mm]
[mm] \vmat{ -2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 }
[/mm]
[mm] x_3=0
[/mm]
[mm] x_2=t\in\IR, [/mm] beliebig
[mm] x_1=-\bruch{x_2}{2}
[/mm]
[mm] \vec{X_{\lambda2}}=t*\vektor{-0,5 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
für [mm] \lambda_3=0:
[/mm]
[mm] \vmat{ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
[mm] x_3=u \in \IR, [/mm] beliebig
[mm] x_2=0
[/mm]
[mm] x_1=u
[/mm]
[mm] \vec{X_{\lambda3}}=u*\vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
richtig gelöst?
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> Man berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix
>
>
> [mm]A=\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm]
>
>
> meine vorgehensweise:
>
> [mm]A=\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm]
>
> Zur ersten Zeile die dritte Zeile addiert: I+III:
>
> [mm]A=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Dieses Gleichheitszeichen gilt nicht. Die Matrix auf der rechten Seite ist nicht mehr gleich $A$ (eigentlich offensichtlich).
> Jetzt Zeilen vertauschen:
>
> [mm]A=\pmat{ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Nun hab ich eine obere Dreiecksmatrix:
> Somit sind die Diagonalelemente die Eigenvektoren:
>
> Eigenvektoren: -1, 1, 0
>
> (stimmt das denn? sind die diagonalelemente wirklich die
> eigenvektoren wenn ich eine obere bzw. untere
> dreiecksmatrix habe? oder kann ich das hier nicht sagen,
> sondern muss sie ausrechnen weil ich in der hauptdiagonalen
> eine 0 habe, und ich meine dass die Hauptdiagonale keine
> null enthalten darf damit man das so sagen kann.)
Aber nein: die Diagonalelemente sind Skalare, nicht Eigenvektoren. Eigenvektoren [mm] $\vec{x}$ [/mm] haben die Eigenschaft, dass [mm] $A\vec{x}=\lambda \vec{x}$ [/mm] für ein geeignetes [mm] $\lambda$ [/mm] (dem Eigenwert zum Eigenvektor [mm] $\vec{x}$).
[/mm]
Allenfalls könnte Dir die Dreiecksform helfen, die Lösungen von [mm] $A\vec{x}=\vec{0}$ [/mm] zu finden, d.h. Eigenvektoren zum Eigenwert [mm] $\lambda [/mm] =0$.
> [mm]\vmat{ -1-\lambda & -1 & 1 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0-\lambda }[/mm]
Hier hast Du mit Deiner obigen Dreiecksmatrix gerechnet. Dies ist falsch. Du musst die Nullstellen der Determinante von [mm] $A-\lambda [/mm] E$ bestimmen: dies sind die Eigenwerte von $A$.
Der Rest ist leider streng genommen falsch, aber Du hast von der Grundidee her richtig gerechnet: nur eben hättest Du die Nullstellen [mm] $\lambda$ [/mm] der Determinante von
[mm]A-\lambda E=\pmat{-\lambda & -1 & 0 \\ -1 & -1-\lambda & 1 \\ 0 & 1 & -\lambda }[/mm]
bestimmen müssen. Zur Kontrolle: Die Eigenwerte von $A$ sind $-2, 0$ und $1$.
>
> für [mm]\lambda_1=-1:[/mm]
>
> [mm]\vmat{ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> [mm]x_3=0[/mm]
> [mm]x_2=0[/mm]
> [mm]x_1=s\in\IR,[/mm] beliebig
>
> [mm]\vec{X_{\lambda1}}=s*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
>
> für [mm]\lambda_2=1:[/mm]
>
> [mm]\vmat{ -2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 }[/mm]
>
> [mm]x_3=0[/mm]
> [mm]x_2=t\in\IR,[/mm] beliebig
> [mm]x_1=-\bruch{x_2}{2}[/mm]
>
> [mm]\vec{X_{\lambda2}}=t*\vektor{-0,5 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
>
> für [mm]\lambda_3=0:[/mm]
>
> [mm]\vmat{ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> [mm]x_3=u \in \IR,[/mm] beliebig
> [mm]x_2=0[/mm]
> [mm]x_1=u[/mm]
>
> [mm]\vec{X_{\lambda3}}=u*\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> richtig gelöst?
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> > Man berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix
> >
> >
> > [mm]A=\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm]
> >
> >
> > meine vorgehensweise:
> >
> > [mm]A=\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm]
> >
> > Zur ersten Zeile die dritte Zeile addiert: I+III:
> >
> > [mm]A=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm]
>
> Dieses Gleichheitszeichen gilt nicht. Die Matrix auf der
> rechten Seite ist nicht mehr gleich [mm]A[/mm] (eigentlich
> offensichtlich).
>
> > Jetzt Zeilen vertauschen:
> >
> > [mm]A=\pmat{ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
> >
> > Nun hab ich eine obere Dreiecksmatrix:
> > Somit sind die Diagonalelemente die Eigenvektoren:
> >
> > Eigenvektoren: -1, 1, 0
> >
> > (stimmt das denn? sind die diagonalelemente wirklich die
> > eigenvektoren wenn ich eine obere bzw. untere
> > dreiecksmatrix habe? oder kann ich das hier nicht sagen,
> > sondern muss sie ausrechnen weil ich in der hauptdiagonalen
> > eine 0 habe, und ich meine dass die Hauptdiagonale keine
> > null enthalten darf damit man das so sagen kann.)
>
> Aber nein: die Diagonalelemente sind Skalare, nicht
> Eigenvektoren.
oh da hab ich mich verschrieben, wollte da auch eigenwerte hinschreiben nicht eigenvektoren.
okay dann hab ich was durcheinander gebracht, ich dachte man dürfte die zeilen vertauschen, aber auch selbst wenn hät ich einen fehler gemacht hab grad nachgelesen, dass jedesmal wenn man eine zeile oder spalte vertauscht man dann auch A mit (-1) mulitplizieren muss.
folgendes hab ich gefunden:
"Haupteigenschaften von Determinanten:
1)vertauschen zweier zeilen(spalten) der determinante bewirkt eine multiplikation mit -1.
2)multipliziert man eine zeile von A mit einer zahl a, so multipliziert sich ihre determinante mit a, desgl. für spalten.
3)addiert man ein vielfaches einer zeile von A zu einer anderen, so ändert sich der wert der determinante von A nicht, dgl.spalten
ist eine zeile (oder spalte) ein vielfaches einer anderen zeile (oder spalte), so hat die determinante den wert 0
bspl.: [mm] \vmat{ ... & ... & ... & ... \\ 2 & 4 & 1 & 3 \\ ... & ... & ... & ... \\ 4 & 8 & 2 & 6 }=0
[/mm]
[mm] \vmat{ 1 & ... & 3 \\ 3 & ... & 9 \\ 5 & ... & 15}=0
[/mm]
[mm] \vmat{ 3 & 0 & 7 \\ 2 & 5 & 9 \\ 1 & 2 & 6 }=\vmat{ 3 & 6 & 7 \\ 2 & 9 & 9 \\ 1 & 4 & 6 }
[/mm]
(das letzte beispiel versteh ich nicht wieso sind die beiden determinanten gleich?)
praktische berechnung von determinanten:
man erzeuge durch addition von vielfachen einer zeile(spalte) zu den anderen möglichst viele nullen in einer zeile(spalte) und entwickle die determinante dann nach dieser zeile(spalte).
Quelle:Repetitorium Der Ingenieurt-Mathematik Teil 1
"
ich glaube den fehler den ich beim vertauschen, abgesehen vom vorzeichen noch gemacht habe ist folgender:
[mm] A=\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 } [/mm] ergibt die determinante zur berechnung der eigenwerte:
[mm] \vmat{ 0-\lambda & -1 & 0 \\ -1 & -1-\lambda & 1 \\ 0 & 1 & 0-\lambda }
[/mm]
und erst jetzt wo ich die lambdas hingeschrieben habe dürfte ich die zeilen bzw spalten nach belieben vertauschen, nur bringt mir das nun nichts mehr. denn ich wollte ja ursprünglich eine obere bzw untere dreiecksmatrix erzeugen um die eigenwerte aus den diagonalelementen sofort herauslesen zu können. aber jetzt wo die lambdas eingesetzt sind geht das nicht mehr.
oder irre ich mich jetzt und ich darf ohne die lambdas vorher in die determinante eingesetzt zu haben die zeilen und die spalten der determinante nach obigen regeln aus dem buch vertauschen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:01 So 03.08.2008 | | Autor: | Disap |
Moin
> > > Man berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix
> > >
> > >
> > > [mm]A=\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm]
> > >
>
> > >
> > > meine vorgehensweise:
> > >
> > > [mm]A=\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm]
> > >
>
> > > Zur ersten Zeile die dritte Zeile addiert: I+III:
> > >
> > > [mm]A=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm]
> >
>
> > Dieses Gleichheitszeichen gilt nicht. Die Matrix auf der
> > rechten Seite ist nicht mehr gleich [mm]A[/mm] (eigentlich
> > offensichtlich).
> >
> > > Jetzt Zeilen vertauschen:
> > >
> > > [mm]A=\pmat{ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
> > >
> > > Nun hab ich eine obere Dreiecksmatrix:
> > > Somit sind die Diagonalelemente die Eigenvektoren:
> > >
> > > Eigenvektoren: -1, 1, 0
> > >
> > > (stimmt das denn? sind die diagonalelemente wirklich die
> > > eigenvektoren wenn ich eine obere bzw. untere
> > > dreiecksmatrix habe? oder kann ich das hier nicht sagen,
> > > sondern muss sie ausrechnen weil ich in der hauptdiagonalen
> > > eine 0 habe, und ich meine dass die Hauptdiagonale keine
> > > null enthalten darf damit man das so sagen kann.)
> >
> > Aber nein: die Diagonalelemente sind Skalare, nicht
> > Eigenvektoren.
>
>
> oh da hab ich mich verschrieben, wollte da auch eigenwerte
> hinschreiben nicht eigenvektoren.
>
>
> okay dann hab ich was durcheinander gebracht, ich dachte
> man dürfte die zeilen vertauschen, aber auch selbst wenn
> hät ich einen fehler gemacht hab grad nachgelesen, dass
> jedesmal wenn man eine zeile oder spalte vertauscht man
> dann auch A mit (-1) mulitplizieren muss.
>
>
> folgendes hab ich gefunden:
> "Haupteigenschaften von Determinanten:
> 1)vertauschen zweier zeilen(spalten) der determinante
> bewirkt eine multiplikation mit -1.
> 2)multipliziert man eine zeile von A mit einer zahl a, so
> multipliziert sich ihre determinante mit a, desgl. für
> spalten.
> 3)addiert man ein vielfaches einer zeile von A zu einer
> anderen, so ändert sich der wert der determinante von A
> nicht, dgl.spalten
>
> ist eine zeile (oder spalte) ein vielfaches einer anderen
> zeile (oder spalte), so hat die determinante den wert 0
>
> bspl.: [mm]\vmat{ ... & ... & ... & ... \\ 2 & 4 & 1 & 3 \\ ... & ... & ... & ... \\ 4 & 8 & 2 & 6 }=0[/mm]
>
> [mm]\vmat{ 1 & ... & 3 \\ 3 & ... & 5 \\ 5 & ... & 15}=0[/mm]
>
> [mm]\vmat{ 3 & 0 & 7 \\ 2 & 5 & 9 \\ 1 & 2 & 6 }=\vmat{ 3 & 6 & 7 \\ 2 & 9 & 9 \\ 1 & 4 & 6 }[/mm]
>
> (das letzte beispiel versteh ich nicht wieso sind die
> beiden determinanten gleich?)
Na, weil da nur das 2-Fache der ersten Spalte zur zweiten hinzuaddiert wurde. Oder war dir das schon klar und du wolltest hier etwas zum Beweis hören?
> praktische berechnung von determinanten:
> man erzeuge durch addition von vielfachen einer
> zeile(spalte) zu den anderen möglichst viele nullen in
> einer zeile(spalte) und entwickle die determinante dann
> nach dieser zeile(spalte).
>
> Quelle:Repetitorium Der Ingenieurt-Mathematik Teil 1
> "
>
> ich glaube den fehler den ich beim vertauschen, abgesehen
> vom vorzeichen noch gemacht habe ist folgender:
>
>
>
> [mm]A=\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm] ergibt
> die determinante zur berechnung der eigenwerte:
>
> [mm]\vmat{ 0-\lambda & -1 & 0 \\ -1 & -1-\lambda & 1 \\ 0 & 1 & 0-\lambda }[/mm]
Das sieht doch schon sehr bequem aus. Warum berechnest du die 'Determinante' nicht nach der Regel von Sarrus?
> und erst jetzt wo ich die lambdas hingeschrieben habe
> dürfte ich die zeilen bzw spalten nach belieben
> vertauschen, nur bringt mir das nun nichts mehr. denn ich
> wollte ja ursprünglich eine obere bzw untere dreiecksmatrix
> erzeugen um die eigenwerte aus den diagonalelementen sofort
> herauslesen zu können. aber jetzt wo die lambdas eingesetzt
> sind geht das nicht mehr.
Ja, ich sehe da jetzt leider auch keine Möglichkeit durch Umformungen etwas zu erreichen.
>
> oder irre ich mich jetzt und ich darf ohne die lambdas
> vorher in die determinante eingesetzt zu haben die zeilen
> und die spalten der determinante nach obigen regeln aus dem
> buch vertauschen?
Die Zeilen und Spalten dürftest du schon vertauschen, aber inwiefern dir das dann weiterhelfen soll, sehe ich leider nicht.
Mfg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:24 Mo 04.08.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
ok danke
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> > > Man berechne die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix
> > >
> > >
> > > [mm]A=\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm]
> > >
>
> > >
> > > meine vorgehensweise:
> > >
> > > [mm]A=\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm]
> > >
>
> > > Zur ersten Zeile die dritte Zeile addiert: I+III:
> > >
> > > [mm]A=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm]
> >
>
> > Dieses Gleichheitszeichen gilt nicht. Die Matrix auf der
> > rechten Seite ist nicht mehr gleich [mm]A[/mm] (eigentlich
> > offensichtlich).
> >
> > > Jetzt Zeilen vertauschen:
> > >
> > > [mm]A=\pmat{ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
> > >
> > > Nun hab ich eine obere Dreiecksmatrix:
> > > Somit sind die Diagonalelemente die Eigenvektoren:
> > >
> > > Eigenvektoren: -1, 1, 0
> > >
> > > (stimmt das denn? sind die diagonalelemente wirklich die
> > > eigenvektoren wenn ich eine obere bzw. untere
> > > dreiecksmatrix habe? oder kann ich das hier nicht sagen,
> > > sondern muss sie ausrechnen weil ich in der hauptdiagonalen
> > > eine 0 habe, und ich meine dass die Hauptdiagonale keine
> > > null enthalten darf damit man das so sagen kann.)
> >
> > Aber nein: die Diagonalelemente sind Skalare, nicht
> > Eigenvektoren.
>
>
> oh da hab ich mich verschrieben, wollte da auch eigenwerte
> hinschreiben nicht eigenvektoren.
>
>
> okay dann hab ich was durcheinander gebracht, ich dachte
> man dürfte die zeilen vertauschen, aber auch selbst wenn
> hät ich einen fehler gemacht hab grad nachgelesen, dass
> jedesmal wenn man eine zeile oder spalte vertauscht man
> dann auch A mit (-1) mulitplizieren muss.
>
>
> folgendes hab ich gefunden:
> "Haupteigenschaften von Determinanten:
> 1)vertauschen zweier zeilen(spalten) der determinante
> bewirkt eine multiplikation mit -1.
> 2)multipliziert man eine zeile von A mit einer zahl a, so
> multipliziert sich ihre determinante mit a, desgl. für
> spalten.
> 3)addiert man ein vielfaches einer zeile von A zu einer
> anderen, so ändert sich der wert der determinante von A
> nicht, dgl.spalten
>
> ist eine zeile (oder spalte) ein vielfaches einer anderen
> zeile (oder spalte), so hat die determinante den wert 0
Ich hatte eigentlich auch den Verdacht, dass Du das Berechnen einer Determinante mit einer Art "Äquivalenztransformation" einer Abbildungsmatrix $A$ durcheinandergebracht hast. Wenn Du solche Äquivalenztransformationen für Determinanten auf Abbildungsmatrizen anwendest, dann ändern sich in der Regel deren Eigenwerte und Eigenvektoren.
>
> bspl.: [mm]\vmat{ ... & ... & ... & ... \\ 2 & 4 & 1 & 3 \\ ... & ... & ... & ... \\ 4 & 8 & 2 & 6 }=0[/mm]
>
> [mm]\vmat{ 1 & ... & 3 \\ 3 & ... & 5 \\ 5 & ... & 15}=0[/mm]
>
> [mm]\vmat{ 3 & 0 & 7 \\ 2 & 5 & 9 \\ 1 & 2 & 6 }=\vmat{ 3 & 6 & 7 \\ 2 & 9 & 9 \\ 1 & 4 & 6 }[/mm]
>
> (das letzte beispiel versteh ich nicht wieso sind die
> beiden determinanten gleich?)
Beim Übergang von links nach rechts ist zur zweiten Spalte das 2-fache der ersten Spalte addiert worden. Dies wäre also ein Beispiel für die Umformung 3) in Deiner obenstehenden Liste.
> praktische berechnung von determinanten:
> man erzeuge durch addition von vielfachen einer
> zeile(spalte) zu den anderen möglichst viele nullen in
> einer zeile(spalte) und entwickle die determinante dann
> nach dieser zeile(spalte).
Du kannst sogar versuchen, die Determinante auf Dreiecksform zu bringen: dann ist deren Wert, wie Du offenbar weisst, einfach das Produkt der Diagonalelemente.
>
> Quelle:Repetitorium Der Ingenieurt-Mathematik Teil 1
> "
>
> ich glaube den fehler den ich beim vertauschen, abgesehen
> vom vorzeichen noch gemacht habe ist folgender:
>
>
> [mm]A=\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 }[/mm] ergibt
> die determinante zur berechnung der eigenwerte:
>
> [mm]\vmat{ 0-\lambda & -1 & 0 \\ -1 & -1-\lambda & 1 \\ 0 & 1 & 0-\lambda }[/mm]
>
> und erst jetzt wo ich die lambdas hingeschrieben habe
> dürfte ich die zeilen bzw spalten nach belieben
> vertauschen, nur bringt mir das nun nichts mehr.
> denn ich
> wollte ja ursprünglich eine obere bzw untere dreiecksmatrix
> erzeugen um die eigenwerte aus den diagonalelementen sofort
> herauslesen zu können. aber jetzt wo die lambdas eingesetzt
> sind geht das nicht mehr.
Doch, das kannst Du nun mit der Determinante [mm] $\det(A-\lambda [/mm] E)$ durchaus machen. Denn nun geht es darum, die Determinante als Funktion von [mm] $\lambda$ [/mm] auszurechnen.
> oder irre ich mich jetzt und ich darf ohne die lambdas
> vorher in die determinante eingesetzt zu haben die zeilen
> und die spalten der determinante nach obigen regeln aus dem
> buch vertauschen?
Nein, das darfst Du nicht. Du musst die Determinante [mm] $\det(A-\lambda [/mm] E)$ ausrechnen. Aber zweifellos wäre ein Versuch, diese Determinante nun auf Dreiecksform zu bringen, etwas mühsam, so dass sich durchaus eine Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte anbietet. Bei Entwicklung nach der ersten Spalte erhält man z.B.
[mm]\vmat{ 0-\lambda & -1 & 0 \\ -1 & -1-\lambda & 1 \\ 0 & 1 & 0-\lambda }=-\lambda \cdot \vmat{-1-\lambda & 1\\1 & -\lambda}-(-1)\cdot \vmat{-1 & 0\\1 & -\lambda}=-\lambda \cdot(\lambda+\lambda^2-1)+\lambda=-\lambda(\lambda^2+\lambda-2)=-\lambda(\lambda+2)(\lambda-1)[/mm]
Die Eigenwerte der Matrix $A$ sind somit [mm] $\lambda_1=-2$, $\lambda_2=0$ [/mm] und [mm] $\lambda_3=1$.
[/mm]
Da die Matrix [mm] $3\times [/mm] 3$ ist und Du drei verschiedene Eigenwerte gefunden hast, kannst Du bereits sagen: die drei Eigenräume (von den Eigenvektoren zum selben Eigenwert aufgespannten Teilräume des [mm] $\IR^3$) [/mm] sind alle 1-dimensional. Du muss also die gesuchten drei Eigenvektoren [mm] $\vec{x}_{1,2,3}$ [/mm] von $A$ als nicht-triviale Lösungen der drei homogen-linearen Gleichungssysteme [mm] $(A-\lambda_{1,2,3}E)\cdot\vec{x}=\vec{0}$ [/mm] bestimmen. Am einfachsten ist dies für [mm] $\lambda_2=0$, [/mm] denn in diesem Fall kann man eine nicht-triviale Lösung ohne jede Rechnung direkt ablesen:
[mm](A-\lambda_2 E)\vec{x}=\pmat{0 & -1 & 0\\ -1 & -1 & 1\\0 & 1 & 0}\cdot\pmat{x\\y\\z}=\pmat{0\\0\\0},\text{ also ist z.B.} \vec{x}_1=\pmat{1\\0\\1} \text{ Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_2=0$}[/mm]
Analog für [mm] $\lambda_1=-2$ [/mm] und [mm] $\lambda_3=1$, [/mm] nur dass es in diesen beiden Eigenwerten bei der Bestimmung einer nicht-trivialen Lösung des linearen Gleichungssystems [mm] $(A-\lambda E)\vec{x}=\vec{0}$ [/mm] etwas mehr zu rechnen gibt.
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also gut am einfachsten und schnellsten geht es dann wohl, wenn ich folgendermaßen rechne:
[mm] A=\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0}
[/mm]
[mm] \vmat{ 0-\lambda & -1 & 0 \\ -1 & -1-\lambda & 1 \\ 0 & 1 & 0-\lambda}=-\lambda^3-\lambda^2+2\lambda [/mm] (regel von sarus)
[mm] (\lambda^3+\lambda^2-2\lambda):(\lambda-1)=\lambda^2+2\lambda [/mm] (polynomdivision)
[mm] \lambda^2+2\lambda=0 [/mm] (pq-formel)
Eigenwerte: [mm] \lambda_1=1 [/mm] , [mm] \lambda_2=0 [/mm] , [mm] \lambda_3=-2 [/mm]
Bestimmung der Eigenvektoren:
für [mm] \lambda=1:
[/mm]
-1 -1 0 |0
-1 -2 1 |0 (II-I)
0 1 -1 |0
-1 -1 0 |0
0 -1 1 |0
0 1 -1 |0 (III+II)
-1 -1 0 |0
0 -1 1 |0
0 0 0 |0
[mm] x_3=s\in\IR,beliebig
[/mm]
[mm] -x_2+s=0
[/mm]
[mm] x_2=s
[/mm]
[mm] -x_1-x_2=0
[/mm]
[mm] x_1=-x_2=-s
[/mm]
[mm] \vec{X}_{\lambda_1}=s*\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
für [mm] \lambda_2=0:
[/mm]
0 -1 0 |0
-1 -1 1 |0
0 1 0 |0
-1 -1 1 |0
0 -1 0 |0
0 1 0 |0 (III+II)
-1 -1 1 |0
0 -1 0 |0
0 0 0 |0
[mm] x_3=t\in\IR,beliebig
[/mm]
[mm] -x_2=0
[/mm]
[mm] x_2=0
[/mm]
[mm] -x_1+t=0
[/mm]
[mm] x_1=t
[/mm]
[mm] \vec{X}_{\lambda_2}=t*\vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
für [mm] \lambda_3=-2:
[/mm]
2 -1 0 |0
-1 1 1 |0 (2*II +I)
0 1 2 |0
2 -1 0 |0
0 1 2 |0
0 1 2 |0 (III-II)
2 -1 0 |0
0 1 2 |0
0 0 0 |0
[mm] x_3=u\in\IR,beliebig
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] +2u=0
[mm] x_2=-2u
[/mm]
[mm] 2x_1+2u=0
[/mm]
[mm] x_1=-u
[/mm]
[mm] \vec{X}_{\lambda_3}=u*\vektor{-1 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
richtig?
wenn ich eine [mm] n\times [/mm] n matrix habe habe ich dann n eigenwerte und n eigenvektoren? und wenn ja können darunter dann auch doppelte eigenwerte sein.
hat also eine [mm] 3\times [/mm] 3 matrix 3 eigenwerte.
und diese könnte die eigenwerte 1,2,2 haben
oder müssen es dann auch verschiedene eigenwerte sein also
1,2,4
wenn ich eine obere bzw untere dreiecksmatrix habe kann ich ja durch multiplikation der diagonalelemente sofort den wert der determinante ermiteln. darf in der diagonalen eine null enthalten sein oder lässt sich dann die determinante druch mulitplikation der diagonalelemente nicht mehr ermitteln, weil dadruch wäre ja die determinante immer null.
und geht das nur mit der hauptdiagonalen oder würde das auch mit der nebendiagonalen gehen, also wenn ich eine linke obere bzw eine rechte untere dreiecksmatrix hab.
gilt das verfahren nur für dreiecksmatritzen oder auch für [mm] n\times [/mm] n matritzen?
wenn ich eine matrix habe und dort die die erste und letzte zeile vertausche hab ich also nicht mehr dieselbe matrix und die eigenwerte und eigenvektoren haben sich dann sehr wahrscheinlich auch verändert.richtig?
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> also gut am einfachsten und schnellsten geht es dann wohl,
> wenn ich folgendermaßen rechne:
>
> [mm]A=\pmat{ 0 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0}[/mm]
>
>
> [mm]\vmat{ 0-\lambda & -1 & 0 \\ -1 & -1-\lambda & 1 \\ 0 & 1 & 0-\lambda}=-\lambda^3-\lambda^2+2\lambda[/mm]
> (regel von sarus)
>
> [mm](\lambda^3+\lambda^2-2\lambda):(\lambda-1)=\lambda^2+2\lambda[/mm]
> (polynomdivision)
>
> [mm]\lambda^2+2\lambda=0[/mm] (pq-formel)
>
> Eigenwerte: [mm]\lambda_1=1[/mm] , [mm]\lambda_2=0[/mm] , [mm]\lambda_3=-2[/mm]
>
>
> Bestimmung der Eigenvektoren:
>
> für [mm]\lambda=1:[/mm]
>
> -1 -1 0 |0
>
> -1 -2 1 |0 (II-I)
>
> 0 1 -1 |0
>
>
> -1 -1 0 |0
>
> 0 -1 1 |0
>
> 0 1 -1 |0 (III+II)
>
>
> -1 -1 0 |0
>
> 0 -1 1 |0
>
> 0 0 0 |0
>
> [mm]x_3=s\in\IR,beliebig[/mm]
>
> [mm]-x_2+s=0[/mm]
> [mm]x_2=s[/mm]
>
> [mm]-x_1-x_2=0[/mm]
> [mm]x_1=-x_2=-s[/mm]
>
> [mm]\vec{X}_{\lambda_1}=s*\vektor{-1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Wobei ein einziger Eigenvektor zu diesem Eigenwert genügt: Du brauchst nicht noch alle skalaren Vielfachen anzugeben (es ist ja immer so, dass eine Linearkombination, [mm] $\neq \vec{0}$, [/mm] von Eigenvektoren zum selben Eigenwert ebenfalls einen Eigenvektor zu diesem Eigenwert ergibt: eben, die Eigenvektoren zu einem Eigenwert bilden, zusammen mit [mm] $\vec{0}$, [/mm] einen Teilvektoraum).
>
>
>
> für [mm]\lambda_2=0:[/mm]
>
> 0 -1 0 |0
>
> -1 -1 1 |0
>
> 0 1 0 |0
>
>
> -1 -1 1 |0
>
> 0 -1 0 |0
>
> 0 1 0 |0 (III+II)
>
>
> -1 -1 1 |0
>
> 0 -1 0 |0
>
> 0 0 0 |0
>
> [mm]x_3=t\in\IR,beliebig[/mm]
>
> [mm]-x_2=0[/mm]
> [mm]x_2=0[/mm]
>
> [mm]-x_1+t=0[/mm]
> [mm]x_1=t[/mm]
>
> [mm]\vec{X}_{\lambda_2}=t*\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
aber, wie gesagt, besser nur einen Eigenvektor angeben, es sei denn, es gäbe mehrere linear-unabhängige Eigenvektoren zu diesem Eigenwert (geometrische Vielfachheit >1).
>
>
> für [mm]\lambda_3=-2:[/mm]
>
> 2 -1 0 |0
>
> -1 1 1 |0 (2*II +I)
>
> 0 1 2 |0
>
>
> 2 -1 0 |0
>
> 0 1 2 |0
>
> 0 1 2 |0 (III-II)
>
>
> 2 -1 0 |0
>
> 0 1 2 |0
>
> 0 0 0 |0
>
> [mm]x_3=u\in\IR,beliebig[/mm]
>
> [mm]x_2[/mm] +2u=0
> [mm]x_2=-2u[/mm]
>
> [mm]2x_1+2u=0[/mm]
> [mm]x_1=-u[/mm]
>
> [mm]\vec{X}_{\lambda_3}=u*\vektor{-1 \\ -2 \\ 1}[/mm]
bis auf dieselbe Nörgelei apropos Parameter $u$ in dieser Schreibweise.
>
>
> richtig?
ja.
> wenn ich eine [mm]n\times[/mm] n matrix habe habe ich dann n
> eigenwerte und n eigenvektoren?
Nicht unbedingt. Aber Du hast höchstens $n$ Eigenwerte und $n$ linear-unabhängige Eigenvektoren.
> und wenn ja können darunter dann auch doppelte eigenwerte sein.
Ein Eigenwert kann mehrfache Nullstelle von [mm] $p_A(\lambda) [/mm] := [mm] \det(A-\lambda [/mm] E)$ sein. Die Ordnung eines Eigenwerts [mm] $\lambda$ [/mm] als Nullstelle dieses charakteristischen Polynoms [mm] $p_A(\lambda)$ [/mm] von $A$ nennt man seine algebraische Vielfachheit. Die maximale Anzahl linear-unabhängiger Eigenvektoren zu diesem Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] (d.h. die Dimension des Eigenraumes zum Eigenwert [mm] $\lambda$) [/mm] nennt man seine geometrische Vielfachheit.
Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes kann kleiner sein als seine algebraische Vielfachheit.
>
> hat also eine [mm]3\times[/mm] 3 matrix 3 eigenwerte.
> und diese könnte die eigenwerte 1,2,2 haben
> oder müssen es dann auch verschiedene eigenwerte sein
> also
> 1,2,4
Wenn Du eine Diagonalmatrix mit genau diesen Einträgen $1,2,2$ nimmst, dann hat sie den Eigenwert $1$ (mit algebraischer und geometrischer Vielfachheit) $1$ und den Eigenwert $2$ (mit algebraischer und geometrischer Vielfachheit) $2$. (Bei Diagonalmatrizen stimmen algebraische und geometrische Vielfachheiten überein).
>
> wenn ich eine obere bzw untere dreiecksmatrix habe kann ich
> ja durch multiplikation der diagonalelemente sofort den
> wert der determinante ermiteln.
Hm, ja: wenn $A$ eine Dreiecksmatrix ist, dann ist auch [mm] $A-\lambda [/mm] E$ noch immer eine Dreicksmatrix und ja, dann ist deren Determinante das Produkt ihrer Diagonalelemente. Aber wohlgemerkt: das Produkt der Diagonalelemente von [mm] $A-\lambda [/mm] E$, nicht von $A$ muss hier berechnet werden. (Ich schreibe dies, weil Du es neulich gerade falsch herum gemacht hast.)
> darf in der diagonalen eine
> null enthalten sein oder lässt sich dann die determinante
> druch mulitplikation der diagonalelemente nicht mehr
> ermitteln, weil dadruch wäre ja die determinante immer
> null.
Dass die Determinante von [mm] $\det(A-\lambda [/mm] E)$ unabhängig vom exakten Wert von [mm] $\lambda$ [/mm] gleich $0$ ist, kann nicht vorkommen, denn [mm] $\det(A-\lambda [/mm] E)$ ist ein Polynom vom $n$-ten Grad in [mm] $\lambda$ [/mm] (falls $A$ eine [mm] $n\times [/mm] n$-Matrix ist), das nicht einmal für mehr als $n$ Werte von [mm] $\lambda$ [/mm] gleich $0$ sein kann.
> und geht das nur mit der hauptdiagonalen oder würde das
> auch mit der nebendiagonalen gehen, also wenn ich eine
> linke obere bzw eine rechte untere dreiecksmatrix hab.
> gilt das verfahren nur für dreiecksmatritzen oder auch für
> [mm]n\times[/mm] n matritzen?
Hör' mir bloss auf mit der Nebendiagonalen. Die Eigenwertbestimmung geht über die Determinante von [mm] $\det(A-\lambda [/mm] E)$. Wenn $A$ "Dreiecksmatrix" mit Hypotenuse auf der Nebendiagonalen wäre, wäre [mm] $\det(A-\lambda [/mm] E)$ keine solche "Dreiecksmatrix" mehr.
>
> wenn ich eine matrix habe und dort die die erste und letzte
> zeile vertausche hab ich also nicht mehr dieselbe matrix
genau.
> und die eigenwerte und eigenvektoren haben sich dann sehr
> wahrscheinlich auch verändert.richtig?
richtig.
Als Abbildungmatrix hat sie sich (ausser in ganz speziellen Fällen) verändert. Äquivalenztransformationen einer Determinante (die, zugegebenermassen beinahe so geschrieben wird wie eine Abbildungsmatrix), sind keineswegs Äquivalenztransformationen von Abbildungmatrizen.
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> > wenn ich eine [mm]n\times[/mm] n matrix habe habe ich dann n
> > eigenwerte und n eigenvektoren?
> Nicht unbedingt. Aber Du hast höchstens [mm]n[/mm] Eigenwerte und [mm]n[/mm]
> linear-unabhängige Eigenvektoren.
>
> > und wenn ja können darunter dann auch doppelte eigenwerte
> sein.
>
> Ein Eigenwert kann mehrfache Nullstelle von [mm]p_A(\lambda) := \det(A-\lambda E)[/mm]
> sein. Die Ordnung eines Eigenwerts [mm]\lambda[/mm] als Nullstelle
> dieses charakteristischen Polynoms [mm]p_A(\lambda)[/mm] von [mm]A[/mm] nennt
> man seine algebraische Vielfachheit. Die maximale Anzahl
> linear-unabhängiger Eigenvektoren zu diesem Eigenwert
> [mm]\lambda[/mm] (d.h. die Dimension des Eigenraumes zum Eigenwert
> [mm]\lambda[/mm]) nennt man seine geometrische Vielfachheit.
> Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwertes kann
> kleiner sein als seine algebraische Vielfachheit.
>
> >
> > hat also eine [mm]3\times[/mm] 3 matrix 3 eigenwerte.
> > und diese könnte die eigenwerte 1,2,2 haben
> > oder müssen es dann auch verschiedene eigenwerte sein
> > also
> > 1,2,4
> Wenn Du eine Diagonalmatrix mit genau diesen Einträgen
> [mm]1,2,2[/mm] nimmst, dann hat sie den Eigenwert [mm]1[/mm] (mit
> algebraischer und geometrischer Vielfachheit) [mm]1[/mm] und den
> Eigenwert [mm]2[/mm] (mit algebraischer und geometrischer
> Vielfachheit) [mm]2[/mm]. (Bei Diagonalmatrizen stimmen algebraische
> und geometrische Vielfachheiten überein).
> >
also in dieser aufgabe hatte ich nur eigenwerte mit der algebraischen und geometrischen vielfachheit 1.
so wie ich das verstehe kriegt man eine algebraische vielfachheit von 2 heraus wenn bei der berechnung der eigenwerte bei der pq-formel zum schluss beispielsweise steht:
[mm] \lambda_{1,2}=1\pm\wurzel{0}
[/mm]
(jetzt noch eine kleine frage die vielleicht nicht ganz zu diesem thread passt, was ist bei einer kurvendiskussion bei der nullstellenbestimmung so besonders daran wenn man eine dreifache nullstelle oder n-fache nullstelle herausbekommt? und kann man am graphen selbst erkennen ob es eine dreifache bzw. n-fache nullste ist?)
und eine geometrische viefachheit von 2 bekommt man heraus wenn bei der berechenung der eigenvektoren für diesen eigenwert zwei linearunabhänige eigenvektoren herauskommen.
aber wie sieht eine aufgabe aus bei der zwei linearunabhängige vektoren für ein und denselben eingenwert herauskommen?
kannst du mir ein beispiel zeigen wo ich die algebraische vielfachheit 2 und die geometrische 1 habe
und eins wo ich die algebraische vielfachheite 2 und die geometrische auch 2 habe?
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> > wenn ich eine obere bzw untere dreiecksmatrix habe kann ich
> > ja durch multiplikation der diagonalelemente sofort den
> > wert der determinante ermiteln.
>
> Hm, ja: wenn [mm]A[/mm] eine Dreiecksmatrix ist, dann ist auch
> [mm]A-\lambda E[/mm] noch immer eine Dreicksmatrix und ja, dann ist
> deren Determinante das Produkt ihrer Diagonalelemente. Aber
> wohlgemerkt: das Produkt der Diagonalelemente von [mm]A-\lambda E[/mm],
> nicht von [mm]A[/mm] muss hier berechnet werden. (Ich schreibe dies,
> weil Du es neulich gerade falsch herum gemacht hast.)
>
> > darf in der diagonalen eine
> > null enthalten sein oder lässt sich dann die determinante
> > druch mulitplikation der diagonalelemente nicht mehr
> > ermitteln, weil dadruch wäre ja die determinante immer
> > null.
> Dass die Determinante von [mm]\det(A-\lambda E)[/mm] unabhängig vom
> exakten Wert von [mm]\lambda[/mm] gleich [mm]0[/mm] ist, kann nicht
> vorkommen, denn [mm]\det(A-\lambda E)[/mm] ist ein Polynom vom [mm]n[/mm]-ten
> Grad in [mm]\lambda[/mm] (falls [mm]A[/mm] eine [mm]n\times n[/mm]-Matrix ist), das
> nicht einmal für mehr als [mm]n[/mm] Werte von [mm]\lambda[/mm] gleich [mm]0[/mm] sein
> kann.
>
> > und geht das nur mit der hauptdiagonalen oder würde das
> > auch mit der nebendiagonalen gehen, also wenn ich eine
> > linke obere bzw eine rechte untere dreiecksmatrix hab.
> > gilt das verfahren nur für dreiecksmatritzen oder auch für
> > [mm]n\times[/mm] n matritzen?
> Hör' mir bloss auf mit der Nebendiagonalen. Die
> Eigenwertbestimmung geht über die Determinante von
> [mm]\det(A-\lambda E)[/mm]. Wenn [mm]A[/mm] "Dreiecksmatrix" mit Hypotenuse
> auf der Nebendiagonalen wäre, wäre [mm]\det(A-\lambda E)[/mm] keine
> solche "Dreiecksmatrix" mehr.
> >
wenn ich eine aufgabe hab und da ist eine matrix gegeben und es wird nicht nach eigenwerten oder eigenvektoren gefragt, sondern ich soll nur die determinanten dieser matrix berechnen und diese matrix ist eine obere bzw untere diagonalmatrix dann kann ich durch multiplikation der diagonalelemete die determinante ausrechnen:
[mm] \vmat{ 2 & 4 & e \\ 0 & 7 & 1 \\ 0 & 0 & 3 } [/mm] = 2*7*3=42
was aber wenn die diagonalmatrix so aussieht?:
[mm] \pmat{ 2 & 4 & e \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 3 } [/mm]
ist es dann weiterhin erlaub die determinante durch multiplikation der diagonalelemente zu bestimmen oder ist eine obere bzw untere dreiecksmatrix bei denen eines der diagonalelemente null ist keine diagonalmatrix mehr und somit ist dieses verfahren nicht möglich.
wenn ich die matrix:
[mm] \vmat{ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 7 & 1 \\ 2 & 4 & e } [/mm]
dann handelt es sich nicht mehr um eine diagonalmatrix aber darf ich die determinante hier trotzdem durch multiplikation der diagonalelemente ermitteln oder gilt dies verfahren nur für diagonalmatritzen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Mo 04.08.2008 | | Autor: | Kroni |
> >
Hi,
> so wie ich das verstehe kriegt man eine algebraische
> vielfachheit von 2 heraus wenn bei der berechnung der
> eigenwerte bei der pq-formel zum schluss beispielsweise
> steht:
>
> [mm]\lambda_{1,2}=1\pm\wurzel{0}[/mm]
Ja. Das liegt dann ja an der Nullstelle. Wenn du das char. Polynom zerlegt hast, dann steht da ja:
[mm] $(x-\lambda_1)^a*(x-\lambda_2)^b*(x-\lambda_3)^c*\dots$
[/mm]
Jetzt sind dann genau die a b c die algebraische Vielfachheit deiner Eigenwerte [mm] $\lambda_i$.
[/mm]
>
> (jetzt noch eine kleine frage die vielleicht nicht ganz zu
> diesem thread passt, was ist bei einer kurvendiskussion bei
> der nullstellenbestimmung so besonders daran wenn man eine
> dreifache nullstelle oder n-fache nullstelle herausbekommt?
> und kann man am graphen selbst erkennen ob es eine
> dreifache bzw. n-fache nullste ist?)
Ja. Bei einer doppelten Nullstelle wie bei [mm] x^2 [/mm] berührt der Grapph die x-Achse nur. Wenns eine dreifache Nullstelle ist, schneidet er. [mm] x^4 [/mm] berührt wieder nur, [mm] x^5 [/mm] schneidet usw.
>
> und eine geometrische viefachheit von 2 bekommt man heraus
> wenn bei der berechenung der eigenvektoren für diesen
> eigenwert zwei linearunabhänige eigenvektoren
> herauskommen.
Hm. Ich glaube, du meinst das richtige. Die Geometrische Vielfachheit ist die Dimension des Nullraums (oder des Kerns), den du dann ausrechnest. Wenn du dann zwei lin. unabh. Vektoren rausbekommst aus dem Kern, dann hat er ja die dim 2, damit ist die geom. Vielfachheit 2.
> aber wie sieht eine aufgabe aus bei der zwei
> linearunabhängige vektoren für ein und denselben eingenwert
> herauskommen?
Nimm dir zB die Matrix [mm] $\pmat{1&0&0\\0&2&0\\0&0&2}$ [/mm] her. Eigenwerte sind 1 und 2. Geometrische Vielfachheit von 2 ist 2, da es ja zweimal auftaucht.
>
> kannst du mir ein beispiel zeigen wo ich die algebraische
> vielfachheit 2 und die geometrische 1 habe
Da fällt mir gerade keins ein, aber dann ist die Matrix nicht mehr Diagonalisierbar.
>
> und eins wo ich die algebraische vielfachheite 2 und die
> geometrische auch 2 habe?
Nun, dsa Beispiel hast du doch schon oben gefragt. Du fragtest nach zwie lin.unabh. Vektoren für ien und denselben Eigenwert. D.h. wenn du zwei lin. unabh. Eigenvektoren hast zu einem Eigenwert, dann muss seine algebr. Vielfachheit mindestens 2 sein, denn es gilt ja die Ungleichung Geometrische Vielfachheit <= Algebraische Vielfachheit.
>
> ____________________________________________________________________________
>
>
> wenn ich eine aufgabe hab und da ist eine matrix gegeben
> und es wird nicht nach eigenwerten oder eigenvektoren
> gefragt, sondern ich soll nur die determinanten dieser
> matrix berechnen und diese matrix ist eine obere bzw untere
> diagonalmatrix dann kann ich durch multiplikation der
> diagonalelemete die determinante ausrechnen:
>
> [mm]\vmat{ 2 & 4 & e \\ 0 & 7 & 1 \\ 0 & 0 & 3 }[/mm] = 2*7*3=42
Ja.
>
>
> was aber wenn die diagonalmatrix so aussieht?:
>
> [mm]\pmat{ 2 & 4 & e \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 3 }[/mm]
>
> ist es dann weiterhin erlaub die determinante durch
> multiplikation der diagonalelemente zu bestimmen oder ist
> eine obere bzw untere dreiecksmatrix bei denen eines der
> diagonalelemente null ist keine diagonalmatrix mehr und
> somit ist dieses verfahren nicht möglich.
Klar ist es eine Diagonalmatrix. Nur die Determinante ist dann eben Null.
>
> wenn ich die matrix:
>
> [mm]\vmat{ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 7 & 1 \\ 2 & 4 & e }[/mm]
>
> dann handelt es sich nicht mehr um eine diagonalmatrix aber
> darf ich die determinante hier trotzdem durch
> multiplikation der diagonalelemente ermitteln oder gilt
> dies verfahren nur für diagonalmatritzen?
Das gilt nur für Diagonalmatrizen. Du kannst die Determinante ja schnell nach der Entwicklung nach der ersten Spalte zb berechnen, und sehen ,dass dsa ganze Teil ungleich 0 ist.
LG
Kroni
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:26 Mo 04.08.2008 | | Autor: | BlubbBlubb |
ok dann hab ich das auch verstanden, danke euch.
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