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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:20 Di 11.05.2010 | | Autor: | Jan_Z |
Hallo,
ich habe folgendes Problem:
zu zwei gegebenen Teilmengen A, B [mm] \subseteq \{1,\dots,n\} [/mm] möchte ich gerne die Eigenwerte der Hesse-Matrix der Funktion [mm] (x_1,\dots,x_n)\mapsto [/mm] ( [mm] \summe_{i\in A}x_i [/mm] ) [mm] \cdot [/mm] ( [mm] \summe_{i\in B}x_i [/mm] ) berechnen. Mit [mm] m:=|A\cap [/mm] B|, [mm] m_1:=|A\setminus [/mm] B| und [mm] m_2:=|B\setminus [/mm] A| hat diese Matrix nach evtl. Permutieren der Indizes die Form
[mm] \pmat{
2&\cdots&2&1&\cdots&1&1&\cdots&1\\
\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\\
2&\cdots&2&1&\cdots&1&1&\cdots&1\\
1&\cdots&1&0&\cdots&0&1&\cdots&1\\
\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\\
1&\cdots&1&0&\cdots&0&1&\cdots&1\\
1&\cdots&1&1&\cdots&1&0&\cdots&0\\
\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\vdots&\cdots&\vdots&\\
1&\cdots&1&1&\cdots&1&0&\cdots&0\\
}
[/mm]
Hierbei hat der 2er-Block die Größe [mm] m\times{m} [/mm] , der obere 0er-Block die Größe [mm] m_1\times m_1, [/mm] und der untere 0er-Block die Größe [mm] m_2\times m_2. [/mm] Diese Matrix hat offensichtlich Rang n-2. Meine Vermutung ist, dass die beiden von Null verschiedenen Eigenwerte die Nullstellen des Polynoms [mm] X^2-aX-b [/mm] sind, wobei a=2m und [mm] b=m(m_1+m_2)+m_1m_2 [/mm] ist.
Nur dies zu beweisen fällt mir schwer; vielleicht hat jemand einen Tipp?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 Di 11.05.2010 | | Autor: | Jan_Z |
Dass a=2m ist, ist mir jetzt klar, denn das ist die Spur der Matrix, also damit das additiv Inverse des zweithöchsten Koeffizienten im charakteristischen Polynom.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:54 Di 11.05.2010 | | Autor: | Jan_Z |
hab das Problem nun hinbekommen. (Matrix ist Nullstelle von [mm] X(X^2-aX-b), [/mm] also teilt das Minimalpolynom dieses Polynom, andererseits kann man sich überlegen, dass das Minimalpolynom Grad 3 haben muss)
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