Eigenwerte Jacobimatrix < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 So 01.01.2012 | | Autor: | Wurzel2 |
Ich beschäftige mich gerade mit dem Thema Populationsdynamik und zwar genauer mit dem Räuber Beute Modell von Lotka-Volterra.
Um den Gleichgewichtspunkt in diesem Modell auf seine Stabilität hin zu prüfen bilde ich mit den Differentialgleichungen die Jacobimatrix und bestimme aus dieser die Eigenwerte.
Meine Frage ist nun warum die Eigenwerte bzw. deren Realteil mir Auskunft über die Stabilität des eingestzten Gleichgewichtspunktes geben?
Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:50 Mo 02.01.2012 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Nun zuerst mal was sagt einem die Jacobi-Matrix in Worten?
Sie ist hier eine Linearisierung um den Gleichgewichtspunkt und gibt also an wie sich die Ausgangsgrössen ums Equilibrium [mm] x_{0} [/mm] ändern.
[mm] \vec{y} [/mm] = [mm] J*(\vec{x} [/mm] - [mm] \vec{x_{0}})
[/mm]
Die Jacobi-Matrix kannst du natürlich nun auch (meistens) Diagonalisieren, also so schreiben:
[mm] \vec{y} [/mm] = [mm] T*D*T^{-1}*(\vec{x} -\vec{x_{0}})
[/mm]
In der Diagonalen von D stehen die Eigenwerte.
Gruss
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