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Hallo ihr!
Komme mal wieder bei einer Aufgabe nicht weiter, vielleicht könnt ihr mir ja behilflich sein?!
Sie lautet so:
Sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum endlicher Dimension und [mm] \alpha\in [/mm] End V. Sei weiter [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von [mm] \alpha. [/mm]
Nun habe ich zu zeigen:
a) Ist [mm] p\in [/mm] K[x], so ist [mm] p(\lambda) [/mm] ein Eigenwert des Endomorphismus [mm] p(\alpha) [/mm] von V.
b) [mm] x-\lambda [/mm] teilt [mm] m_{\alpha} [/mm] (=das Minimalpolynom).
zu a): Ich will also zeigen, dass es ein [mm] v\in [/mm] V gibt mit [mm] v\not=0, [/mm] so dass [mm] v^{p(\alpha)}= p(\lambda)*v [/mm] ist.
Also habe ich geschrieben:
Sei [mm] p\in [/mm] K[x], d.h. p= [mm] \summe_{i=0}^{n} a_{i}*x^{i}.
[/mm]
Es gilt: [mm] v^{p(\alpha)}= v^{\summe_{i=0}^{n} a_{i}*\alpha^{i}}= \summe_{i=0}^{n} a_{i}*(v^{\alpha})^{i}= \summe_{i=0}^{n} a_{i}*(\lambda*v)^{i}= [/mm] ...?
So, an dieser Stelle bin ich mir nun nicht sicher, wie ich weitermache, damit ich auf [mm] p(\lambda)*v [/mm] komme. Denn wenn ich [mm] (\lambda*v)^{i} [/mm] ausmultipliziere, erhalte ich doch auch [mm] v^{i} [/mm] und das brauche ich doch nicht, oder?
Oder ist mein Ansatz auch schon falsch?
zu b) So, nun muss ich ja zeigen, dass es ein [mm] c\in [/mm] K[x] gibt mit [mm] m_{\alpha}= [/mm] (x- [mm] \lampha)*c. [/mm] Oder sollte ich lieber einen anderen Weg gehen?
In der Vorlesung haben wir zu Minimalpolynomen einige Beispiele aufgeschrieben, z.B. [mm] m_{\alpha}= [/mm] x-1 [mm] \gdw \alpha= [/mm] id ; [mm] m_{\alpha}= x-\lambda \gdw \alpha= \lambda*id, 0\not=\lambda \in [/mm] K ; [mm] m_{\alpha}= [/mm] x [mm] \gdw \alpha=0.
[/mm]
Also ist mir schon irgendwie klar, dass [mm] x-\lambda [/mm] das Minimalpolynom teilt, aber ich weiß nicht, wie ich es beweisen soll! Kann mir vielleicht jemand einen Tip geben?
Also, schon mal vielen Dank für eure Mühe, schöne Pfingsttage noch... Jessi
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:41 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Jessica!
Dein Ansatz ist leider nicht ganz richtig.
Es sei also $p(x)= [mm] \sum\limits_{i=1}^na_i x^i$ [/mm] ein Polynom.
Dann ist zu zeigen:
[mm] $[p(\alpha)](v) [/mm] = [mm] p(\lambda) \cdot [/mm] v$.
Nun musst du dir erst einmal klar machen, dass aus:
[mm] $\alpha(v) =\lambda \cdot [/mm] v$
folgt:
[mm] $\alpha^i(v) [/mm] = [mm] \lambda^i \cdot [/mm] v$.
Das ist aber einfach und kann mit vollständiger Induktion nach $i$ bewiesen werden.
Daraus folgt dann:
[mm] $[p(\alpha)](v)$
[/mm]
[mm] $=\left[\sum\limits_{i=1}^na_i \cdot \alpha^i\right] [/mm] (v)$
[mm] $=\sum\limits_{i=10}^n a_i \cdot \alpha^i(v)$
[/mm]
[mm] $=\sum\limits_{i=1}^n a_i \cdot \lambda^i \cdot [/mm] v$
[mm] $=\left( \sum\limits_{i=1}^n a_i \cdot \lambda^i \right) \cdot [/mm] v$
[mm] $=p(\lambda) \cdot [/mm] v$.
Zur zweiten Aufgabe: [mm] $\lambda$ [/mm] ist eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms, also auch des Minimalpolynoms (da das Minimalpolynom das charakteristische Polynom teilt). Daher ist [mm] $x-\lambda$ [/mm] ein Teiler des Minimalpolynoms.
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:53 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Staatsi21 |
Hallo Stefan!
> Dein Ansatz ist leider nicht ganz richtig.
Naja, aber zumindest auch nicht ganz falsch! 
> Es sei also [mm]p(x)= \sum\limits_{i=1}^na_i x^i[/mm] ein Polynom.
>
> Dann ist zu zeigen:
>
> [mm][p(\alpha)](v) = p(\lambda) \cdot v[/mm].
Ist [mm] v^{p(\alpha)}=p(\lambda)*v [/mm] nicht das gleich, nur anders geschrieben?
> Nun musst du dir erst einmal klar machen, dass aus:
>
> [mm]\alpha(v) =\lambda \cdot v[/mm]
>
> folgt:
>
> [mm]\alpha^i(v) = \lambda^i \cdot v[/mm].
Ja, da lag mein Problem. Hab es jetzt verstanden und kann es auch zeigen!
> Das ist aber einfach und kann mit vollständiger Induktion
> nach [mm]i[/mm] bewiesen werden.
> Zur zweiten Aufgabe: [mm]\lambda[/mm] ist eine Nullstelle des
> charakteristischen Polynoms, also auch des Minimalpolynoms
> (da das Minimalpolynom das charakteristische Polynom
> teilt). Daher ist [mm]x-\lambda[/mm] ein Teiler des
> Minimalpolynoms.
Mensch, doch so einfach und ich hab´s nicht allein hinbekommen! ;-(
Also, vielen Dank für deine Hilfe und die gute Erklärung!
Schönen Tag noch... Gruß Jessi
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