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| Aufgabe | Zu zeigen ist:
Für [mm] A\in K^{nxn} [/mm] gilt: [mm] A^2=E_n \gdw A=TDT^{-1} [/mm]
mit [mm] D=\pmat{ \pm1 &0...&&& ...0 ...&...0 \\0&\pm1&0..&&&..0\\0&&\pm1&&&...0\\ .\\&&&..\\&&&...\\0...&&...&&...0.. & \pm1 }
[/mm]
eine Diagonalmatrix mit Diagonalelementen [mm] \pm1.
[/mm]
Und [mm] T\in [/mm] GL(n,K) eine invertierbare Matrix.
Also zeige [mm] A^2=E_n [/mm] genau dann wenn A ähnlich zu einer Diagonalmatrix mit Diagonaleinträgen [mm] \pm1 [/mm] ist.
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Hallo!
Ich brauche eure Hilfe.
Die Richtung [mm] "\Leftarrow" [/mm] habe ich glücklicherweise schon zeigen können.
Bei [mm] "\Rightarrow" [/mm] komme ich aber nicht weiter.
Alles was ich herausgefunden habe ist, dass:
[mm] A=A^{-1} [/mm] gilt, die Matrix also sozusagen zu sich selbst invers ist, aber ich weiß nicht wie und ob ich das benutzen kann.
Zeig mal eben wie ich dazu gekommen bin:
Nach Voraussetzung gilt ja: [mm] A^2=E_n\gdw AA=E_n \gdw A=A^{-1}.
[/mm]
Wäre für jeden Tipp dankbar!
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Hallo,
schau mal hier.
Grüße,
Stefan
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Ah! Das ist hilfreich. Dankeschön.
Eine Frage noch:
Hätte ich nicht einfach wie folgt argumentieren können:
A symmetrisch [mm] \Rightarrow [/mm] A hat n verschiedene Eigenwerte [mm] \Rightarrow [/mm] A ist diagonalisierbar. Also sind alle Matrizen, die ähnlich zu A sind in Diagonalgestalt.
Wäre das so okay??
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Hallo,
> Hätte ich nicht einfach wie folgt argumentieren können:
>
> A symmetrisch [mm]\Rightarrow[/mm] A hat n verschiedene Eigenwerte
> [mm]\Rightarrow[/mm] A ist diagonalisierbar. Also sind alle
> Matrizen, die ähnlich zu A sind in Diagonalgestalt.
>
> Wäre das so okay??
Wieso soll A symmetrisch sein? $A = [mm] \pmat{1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & -1}$ [/mm] erfüllt auch die Bedingung [mm] $A^{2} [/mm] = [mm] E_{3}$
[/mm]
Grüße,
Stefan
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Das ist witzig. Die Annahme, dass [mm] A=A^t [/mm] gilt habe ich aus deinem Link.
Hier der "Beweis" dazu:
[mm] A^2=E_n \gdw (A^2)^{t}=E^{t}_{n}=E_n=A^2
[/mm]
Wegen deinem Gegenbeispiel muss die obige Gleichung ja falsch sein.
Kannst du mir vielleicht sagen wo der Fehler liegt?
Kann da wirklich nichts finden.
Ich habe mir die andere Diskussion durchgelesen, aber leider kann ich mit dem Tipp nicht viel anfangen.
Also wir haben gezeigt, dass:
[mm] A^2=E_n \gdw (E_n+A)(E_n-A)=0
[/mm]
Irgendwie muss ich ja daraus folgern können, dass A diagonalisierbar ist.
Wenn ich mir die Determinante anschaue, gitl ja:
[mm] det(E_n+A)det(E_n-A)=0 \gdw [/mm] det(A)=1 [mm] \vee [/mm] det(A)=-1.
Bis hierhin ist das korrekt oder?
Aber wie zeige ich nun, dass es n verschiedene EW´e sind, spricht A diagonalisierbar ist. Über die Dimension der Eigenräume kann ich ja keine Aussage machen, oder ??
Bin für jede Hilfe dankbar!!
P.S.: Ist denn die Aussage "Jede symmetrische Matrix ist diagonalisierbar" überhaupt korrekt?
Ich weiß nur, dass es für n=2 richtig ist, also wenn [mm] A\in \IK^{2x2}.
[/mm]
Aber ob sie für beliebige [mm] n\in \IN [/mm] korrekt ist, weiß ich leider nicht...
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Hallo,
> Das ist witzig. Die Annahme, dass [mm]A=A^t[/mm] gilt habe ich aus
> deinem Link.
>
> Hier der "Beweis" dazu:
>
> [mm]A^2=E_n \gdw (A^2)^{t}=E^{t}_{n}=E_n=A^2[/mm]
>
> Wegen deinem Gegenbeispiel muss die obige Gleichung ja
> falsch sein.
> Kannst du mir vielleicht sagen wo der Fehler liegt?
> Kann da wirklich nichts finden.
Ich schon: Du beweist lediglich, dass [mm] A^{2} [/mm] symmetrisch ist.
Im besten Falle erhältst du die Gleichung [mm] $A^{t}*A^{t} [/mm] = A*A$, aus der aber nicht $A = [mm] A^{t}$ [/mm] folgt!
> Ich habe mir die andere Diskussion durchgelesen, aber
> leider kann ich mit dem Tipp nicht viel anfangen.
Aber hier werden doch Eigenwerte UND Eigenräume explizit ausgerechnet und angegeben!
> Also wir haben gezeigt, dass:
>
> [mm]A^2=E_n \gdw (E_n+A)(E_n-A)=0[/mm]
>
> Irgendwie muss ich ja daraus folgern können, dass A
> diagonalisierbar ist.
> Wenn ich mir die Determinante anschaue, gitl ja:
>
> [mm]det(E_n+A)det(E_n-A)=0 \gdw[/mm] det(A)=1 [mm]\vee[/mm] det(A)=-1.
>
> Bis hierhin ist das korrekt oder?
Aus der Gleichung [mm] $det(E_n+A)det(E_n-A)=0$ [/mm] kann ich jetzt nicht unmittelbar [mm] \det(A) [/mm] = 1 ablesen.
Es folgt ja daraus nur [mm] det(E_{n}+A) [/mm] = 0 oder [mm] det(E_n-A) [/mm] = 0. Das sagt aber nicht, dass die Matrix, die in den Argumenten der Matrix steht, die Nullmatrix sein muss.
Die Aussage det(A) = [mm] \pm [/mm] 1 stimmt aber natürlich trotzdem, das liest man aber aus [mm] $\det(A)^{2} [/mm] = [mm] det(A^{2}) [/mm] = [mm] det(E_{n}) [/mm] = 1$ ab, vielleicht meintest du das ja auch.
> Aber wie zeige ich nun, dass es n verschiedene EW´e sind,
> spricht A diagonalisierbar ist. Über die Dimension der
> Eigenräume kann ich ja keine Aussage machen, oder ??
Siehe der obige Link! Da wird gezeigt, dass für alle x aus dem Vektorraum (Ax-x) bzw. (Ax+x) gerade Eigenvektoren sind!
> Bin für jede Hilfe dankbar!!
>
> P.S.: Ist denn die Aussage "Jede symmetrische Matrix ist
> diagonalisierbar" überhaupt korrekt?
Ja, symmetrische Matrizen sind sogar besonders "schön" diagonalisierbar.
Siehe ![[]](/images/popup.gif) hier.
Grüße,
Stefan
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Alles klar! Jetzt hab ich alles gerafft! Auf den Link von oben konnte ich anfangs nicht zugreifen, aber das hat sich geklärt.
Ich bedanke mich herzlichst bei dir! Vielen Dank und schöne Grüße.
Little Gauß
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