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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenwerte berechnen
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Eigenwerte berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:13 Fr 05.08.2011
Autor: zoj

Aufgabe
Gesucht sind die Eigenwerte zu dieser Matrix:
[mm] \pmat{ 65 & -25 & 0 & 0 \\ -25 & 65 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1} [/mm]

Aufgund der besonderen Strucktir lässt sich das charackteristische Polynom so aufstellen:

[mm] X_{A^{T}A}(t) [/mm] =  [mm] \vmat{65-t & -25 \\ -25 & 65-t} [/mm] *  [mm] \vmat{1-t & -1 \\ -1 & 1-t} [/mm]
daraus folgt:
= [mm] ((65-t)^{2} -25)*((1-t)^{2}-1) [/mm]

Frage ist nun, wie gehe ich nun geschickt vor, um die Eigenwerte OHNE TASCHENRECHNER zu berechnen?

Ich kann zwar alles ausmultiplizieren aber somit erschwere ich ja alles.

        
Bezug
Eigenwerte berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:23 Fr 05.08.2011
Autor: kamaleonti

Hi,
> Gesucht sind die Eigenwerte zu dieser Matrix:
>  [mm]\pmat{ 65 & -25 & 0 & 0 \\ -25 & 65 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1}[/mm]
>  
> Aufgund der besonderen Strucktir lässt sich das
> charackteristische Polynom so aufstellen:
>  
> [mm]X_{A^{T}A}(t)[/mm] =  [mm]\vmat{65-t & -25 \\ -25 & 65-t}[/mm] *  
> [mm]\vmat{1-t & -1 \\ -1 & 1-t}[/mm]
> daraus folgt:
>  = [mm]((65-t)^{2} -25^{\red{2}})*((1-t)^{2}-1)[/mm]
>  
> Frage ist nun, wie gehe ich nun geschickt vor, um die
> Eigenwerte OHNE TASCHENRECHNER zu berechnen?
>  
> Ich kann zwar alles ausmultiplizieren aber somit erschwere ich ja alles.

Du brauchst auch nicht alles ausmultiplizieren, denn du hast ja schon eine Faktorisierung gegeben. Multipliziere nur das aus, was innerhalb der beiden äußeren Klammern steht. Dann hast du zwei quadratische Polynome in t, von denen du die Nullstellen berechnen kannst.

LG

Bezug
                
Bezug
Eigenwerte berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:50 Fr 05.08.2011
Autor: zoj

Danke für den Tipp!

Das ergibt:

[mm] ((65-t)^{2}-25^{2})*((1-t)^{2}-1) [/mm]

[mm] (65^{2}-2*65*t +t^{2}-25^{2})(t^{2}-2t) [/mm]

[mm] (40^{2}-2*65*t+t^2)t(t-2) [/mm]

Die erszte Klammer mit der pq-Formel berechnen:
[mm] t_{1,2}= \frac{2*26}{2} [/mm] +- [mm] \wurzel{(65)^{2}-40^{2}} [/mm]
=65+- [mm] \wurzel{25^{2}} [/mm]
=65 +- 25
=> [mm] t_{1}= [/mm] 90
=> [mm] t_{2}= [/mm] 40

Zusammen mit der pq-Formel:
[mm] t_{1}= [/mm] 90, [mm] t_{2}=40, t_{3}=2, t_{4}=0 [/mm]

OK, die EW stimmen!

Gibt es bei der Berechnung von Eigenvektoren evtl. ein Vorgehen, womit man diese schnell bestimmen kann?

Bezug
                        
Bezug
Eigenwerte berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:11 Fr 05.08.2011
Autor: meili

Hallo zoj,

> Danke für den Tipp!
>  
> Das ergibt:
>  
> [mm]((65-t)^{2}-25^{2})*((1-t)^{2}-1)[/mm]
>  
> [mm](65^{2}-2*65*t +t^{2}-25^{2})(t^{2}-2t)[/mm]

[ok]
>  
> [mm](40^{2}-2*65*t+t^2)t(t-2)[/mm]

Hier hat sich ein Fehler eingeschlichen.

[mm]65^{2}-25^2 \not= (65-25)^2[/mm]

[mm]65^{2}-25^2 = 4225 - 625 = 3600 [/mm]
[mm] $40^2 [/mm] =1600$

>  
> Die erszte Klammer mit der pq-Formel berechnen:
>  [mm]t_{1,2}= \frac{2*26}{2}[/mm] +- [mm]\wurzel{(65)^{2}-40^{2}}[/mm]

woher kommt die 26?

>  =65+- [mm]\wurzel{25^{2}}[/mm]

Da haben sich wohl zwei Fehler gegenseitig aufgehoben.

[mm] $t^2 [/mm] - 2*65*t + 3600 = 0$
mit der pq-Formel:

[mm] $t_{1,2} [/mm] = 65 [mm] \pm \wurzel{65^2 - 3600}=$ [/mm]

>  =65 +- 25
>  => [mm]t_{1}=[/mm] 90

>  => [mm]t_{2}=[/mm] 40

>  
> Zusammen mit der pq-Formel:
>  [mm]t_{1}=[/mm] 90, [mm]t_{2}=40, t_{3}=2, t_{4}=0[/mm]
>  
> OK, die EW stimmen!
>  
> Gibt es bei der Berechnung von Eigenvektoren evtl. ein
> Vorgehen, womit man diese schnell bestimmen kann?
>  

Nein, siehe []Numerische Berechnung von Eigenwerten.

Gruß
meili
Bezug
                                
Bezug
Eigenwerte berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:21 Fr 05.08.2011
Autor: zoj

OK, keine weiteren Fragen.
Bezug
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