Eigenwerte einer Funktion < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei V = {f:R→R} der Vektorraum aller reellen Funktionen. Wir betrachten die lineare Abbildung φ:V→Vdefiniert durch φ(f)(x) =x·f(x). Bestimmen Sie alle Eigenwerte von φund die zugehörigen Eigenvektoren. Ist φ diagonalisierbar? |
Hallo zusammen,
also ich habe hier das Problem, dass es so allgemein ist und sich um eine Funtkion handelt. Bei einer konkreten Matrix wäre das ja nicht so schwer ich würde die Nullstellen des charackteristischen Polynoms berechnen und hätte die Eigenwerte.
Aber wie gehe ich denn hier vor???
LG Sunnygirl26
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Hallo sunnygirl,
die Aufgabe mag ungewohnt sein ist aber eigentlich sogar einfacher als das diagonalisieren von Matrizen, denn du brauchst hier nur die Definition von Eigenwerten/vektoren und nicht zusätzliche Theorie wie char. Polynom/Determinanten etc.
f ist ein Eigenvektor/Eigenfunktion wenn es ein [mm] $\lambda \in \mathbb [/mm] R$ gibt mit [mm] $\varphi [/mm] (f)= [mm] \lambda [/mm] f$, d.h. [mm] $\varphi [/mm] (f)(x) = [mm] \lambda [/mm] f(x) [mm] \forall [/mm] x$. Nutze die Nullteilerfreiheit des Körpers der reellen Zahlen aus.
Für die Diagonalisierbarkeit wäre eure allgemeine Def. von Diagonalisierbarkeit nützlich.
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Ok jetzt hätte ich noch eine Frage dazu.
Wenn ich dass jetzt für meine Abbildung mache also [mm] \varphi [/mm] (f)(x) = [mm] \lambda [/mm] f(x) [mm] \forall [/mm] x setze und meine Abbildung [mm] \varphi [/mm] (f)(x) = x f(x) ist könnte ich dann nicht einfach sagen [mm] \lambda [/mm] = x und damit wären alle f(x) [mm] \not= [/mm] 0 die Eigenvektoren und die zugehörigen x die Eigenwerte?
Irgendwie kommt mir das komisch vor....
Oder müsste ich hier sagen [mm] \varphi [/mm] (f)(x) = [mm] \lambda(x [/mm] f(x)) ?
Zur Diagonaliesierbarkeit: Unsere Definition wäre dieses hier: a) f heißt diagonaliesierbar, falls V eine Basis aus dem Eigenraum von f besitzt
b)f heißt diagonalisierbar, falls es eine Basis B´ von V
gibt, so dass M(B´,B´) (f) eine Diagonalmatrix ist.
( Mit M(B´, B´) mein ich Die Matrix M von B´nach B´)
Eine Basis von V wäre ja z.B. [mm] B={f_a| mit a \in \IR} [/mm] mit [mm] f_a [/mm] (x) =|(x-a)|.
Jetzt müsste ich also nach a) aus meine Definition nur zeigen, dass B eben wirklich eine Basis von V ist und im Eigenraum von phi liegt?
LG Sunnygirl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Fr 28.06.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok jetzt hätte ich noch eine Frage dazu.
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> Wenn ich dass jetzt für meine Abbildung mache also
> [mm]\varphi[/mm] (f)(x) = [mm]\lambda[/mm] f(x) [mm]\forall[/mm] x setze und meine
> Abbildung [mm]\varphi[/mm] (f)(x) = x f(x) ist könnte ich dann
> nicht einfach sagen [mm]\lambda[/mm] = x
nein - es müsste dann doch für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit $f(x) [mm] \not=0$ [/mm] gelten, dass [mm] $\lambda=x\,.$ [/mm] Sind dann [mm] $x_1 \not=x_2$
[/mm]
mit [mm] $f(x_1) \not=0$ [/mm] und [mm] $f(x_2) \not=0\,,$ [/mm] so liefert [mm] $\lambda=x_1$ [/mm] und [mm] $\lambda=x_2$ [/mm] dann den Widerspruch [mm] $x_1=x_2\,.$ [/mm] (Diese
Überlegung wird unten ausgenutzt!)
Schreiben wir es mal so: Sei [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] ein Eigenwert zu [mm] $f=f_\lambda\,,$ [/mm] also [mm] $f_\lambda$ [/mm] eine Eigenfunktion.
Insbesondere ist dann [mm] $f_\lambda$ [/mm] per Definitionem nicht $=0$ (also nicht die Nullfunktion [mm] $\IR \to \IR$). [/mm]
Dann gilt [mm] $\varphi(f)=\lambda f_\lambda \iff \forall [/mm] x [mm] \in \IR:\;\;\varphi(f)(x)=\lambda \cdot f_\lambda(x) \iff \forall [/mm] x [mm] \in \IR:\;\;x*f(x)=\lambda*f(x) \iff \forall [/mm] x [mm] \in \IR:\;\; (\lambda-x)*f(x)=0\,.$
[/mm]
Daraus folgt, dass [mm] $f_\lambda\,$ [/mm] höchstens eine Nicht-Nullstelle haben darf. Andererseits muss
wegen [mm] $f_\lambda \not=0$ [/mm] aber [mm] $f_\lambda$ [/mm] auch mindestens eine Nicht-Nullstelle haben, d.h. [mm] $f_\lambda$ [/mm] hat genau
eine Nicht-Nullstelle: Es gilt [mm] $f_\lambda(x)=0$ [/mm] für alle $x [mm] \not=\lambda$ [/mm] und es gilt zudem [mm] $f_\lambda(\lambda)\not=...$?
[/mm]
(Das ergänzt Du mal bitte!)
Zur Kontrolle: Dein Ergebnis sollte [mm] $f_\lambda=r*\mathds{1}_{\{\lambda\}}$ [/mm] - mit einem $r [mm] \in \IR \setminus \{0\}$ [/mm] - (siehe
![[]](/images/popup.gif) Indikatorfunktion) sein: Genau alle Eigenpaare zu einem Eigenwert [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] sind also in der
Menge
[mm] $\bigcup_{r \in \IR \setminus \{0\}}\{\;(\lambda,r*\mathds{1}_{\{\lambda\}})\;\}=\{\;(\lambda,r*\mathds{1}_{\{\lambda\}}):\;\;r \in \IR \setminus \{0\}\;\}$
[/mm]
enthalten!
Und machen wir mal ein Beispiel:
Sei [mm] $f_3(x):=0$ [/mm] für $x [mm] \not=3$ [/mm] und [mm] $f_3(3):=17\,.$ [/mm] Dann gilt für [mm] $\lambda=3$ [/mm] auch, dass [mm] $3f_3\,$ [/mm] definiert ist durch [mm] $(3f_3)(x)=0$ [/mm]
für alle $x [mm] \not=3$ [/mm] sowie [mm] $(3f_3)(3)=51\,.$
[/mm]
Die Funktion [mm] $g:=\varphi(f_3)\,,$ [/mm] also [mm] $g(x):=x*f_3(x)$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR\,,$ [/mm] erfüllt natürlich
[mm] $g(x)=x*f_3(x)=x*0$ [/mm] für alle $x [mm] \not=3$
[/mm]
und
[mm] $g(3)=3*f_3(x)=3*17=51\,.$
[/mm]
Also [mm] $g=3f_3$ [/mm] bzw. [mm] $\varphi(f_3)=3f_3\,.$
[/mm]
P.S. Noch besser wäre es, wenn wir schreiben:
Sei [mm] $\lambda \in \IR\,.$ [/mm] Sei [mm] $f_{\lambda,r} \colon \IR \to \IR$ [/mm] definiert durch [mm] $f_{\lambda,r}(x):=0$ [/mm] für $x [mm] \not=\lambda$ [/mm] und [mm] $f_{\lambda,r}(\lambda):=r\,,$ [/mm] wobei $r [mm] \in \IR\,.$ [/mm]
Dann haben wir alle Eigenpaare mit Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] in der Menge [mm] $\{\;(\lambda,f_{\lambda,r}):\;\;r \in \IR \red{\setminus \{0\}}\;\}$ [/mm] aufgeführt.
Das ist das Gleiche wie oben: Es ist halt [mm] $f_{\lambda,r}=r*\mathds{1}_{\{\lambda\}}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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