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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix B, sowie deren algebraische Vielfachheit.
[mm] B=\pmat{ 4 & 1 &0&0\\ 4 & 4&0&0\\ 0&0&1&2\\0&0&1&0 } [/mm] |
Hallo leute,
bei dieser aufgabe muss man vermutlich etwas vorzeitig erkennen sonst wird die det dieser 4x4 matrix lange dauern oder ?
Ich habe mir gedacht man kann die 2. zeile und spalte sich weg denken, wegen den Nullen aber ich wüsste nicht was ich mit der 4 in a11 anfangen sollte.
Danke für die hilfe
Grüße
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> Bestimmen Sie die Eigenwerte der Matrix B, sowie deren
> algebraische Vielfachheit.
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> [mm]B=\pmat{ 4 & 1 &0&0\\ 4 & 4&0&0\\ 0&0&1&2\\0&0&1&0 }[/mm]
> Hallo
> leute,
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> bei dieser aufgabe muss man vermutlich etwas vorzeitig
> erkennen sonst wird die det dieser 4x4 matrix lange dauern
> oder ?
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> Ich habe mir gedacht man kann die 2. zeile und spalte sich
> weg denken, wegen den Nullen aber ich wüsste nicht was ich
> mit der 4 in a11 anfangen sollte.
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> Danke für die hilfe
>
> Grüße
Berechne dir die Determinante doch einfach nach der letzten Zeile und wende danach Sarrus an.
gruß
gruß
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dann bleibt det(a)= [mm] \vmat{ 4 & 1 & 0 \\ 4 & 4 &0 \\ 0&1&0}
[/mm]
übrig und mit der Regel von Sarrus dannist die det(B)= 24?
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ich habe statt einer 2 unten links in der determinante eine 0 geschrieben sorry
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> dann bleibt det(a)= [mm]\vmat{ 4 & 1 & 0 \\ 4 & 4 &0 \\ 0&1&\red{2}}[/mm]
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> übrig und mit der Regel von Sarrus dannist die det(B)= 24?
fast.
det(B) = -24
Denk drann, du streichst die 4. Zeile und 3. Spalte, also musst du das Ergebnis mit [mm] $(-1)^{4+3} [/mm] = -1$ multiplizieren.
Allerdings hast du jetzt nur die Determinante, die bringt dir ja für die Eigenwerte nur bedingt etwas.
Da du, wenn du auf der Hauptdiagonalen überall [mm] $\lambda$ [/mm] abziehst, nicht mehr ganz so schön entwickeln kannst würde ich dir dafür die Regel für Blockdreiecksmatrizen, die Bozz empfohlen hat, benutzen.
MfG
Schadow
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kann ich nicht [mm] det(B-\lambda [/mm] +E) [mm] =\pmat{ 4-\lambda & 1 &0&0\\ 4 & 4 -\lambda&0&0\\ 0&0&1&2\\0&0&1&0 } [/mm] und dann wieder entwickeln und regel von sarrus anwenden? Oder dauert das schlicht zu lange?
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> kann ich nicht [mm]det(B-\lambda[/mm][mm] \red{*}E)[/mm] [mm]=\pmat{ 4-\lambda & 1 &0&0\\ 4 & 4 -\lambda&0&0\\ 0&0&1\red{-\lambda}&2\\0&0&1&\red{-\lambda} }[/mm]
> und dann wieder entwickeln und regel von sarrus anwenden?
> Oder dauert das schlicht zu lange?
So müsste die Matrix aussehen.
Natürlich kannst du hier wieder entwickeln, aber ich behaupte einfach mal das mit den Blöcken geht schneller.
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Hallo.
Du kannst auch [mm] det(B)=det(\pmat{ 4 & 1 \\ 4 & 4 })*det(\pmat{ 1 & 2 \\ 1 & 4 }) [/mm] so berechnen.
Egal, welchen Weg du gehst, es wird ja überall das Gleiche rauskommen.
Gruß
TheBozz-mismo
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Ich verstehe nciht wieso du das einfach so machen kannst. Weil die anderen einträge alle NUll sind? Ich muss den lösungsweg ja nachvollziehbar eaufschreiben und ich habe noch nie von dieser vorgehensweise gehört
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Ja, das kann man so machen da der Rest 0 ist.
Allgemein gilt:
$Det( [mm] \pmat{A & B \\ 0 & C} [/mm] ) = Det(A)*Det(C)$
Wobei A,B,C,0 quadratische Matrizen sind.
Das ganze kann man (zum Beispiel mit einer Induktion) beweisen, aber wenn du es noch nie hattest frag am besten mal nach ob es noch in der Vorlesung kommt oder ob du es ggf. benutzen darfst; denn in manchen Fällen ist das echt praktisch.^^
MfG
Schadow
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