Eigenwerte in Abhängigkeit < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 Mi 26.06.2013 | | Autor: | capri |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix.
A= [mm] \begin{pmatrix}
3 & 0 & 2 \\
0 & 1 & a \\
0 & 2 & 2a
\end{pmatrix} [/mm] |
Hallo,
ich habe als erstes das char. Polynom gebildet.
da habe ich
[mm] (3-\Lambda)(1-\Lambda)(2a-\Lambda)-(2a)(3-\Lambda) [/mm] =
[mm] (3-3\Lambda-1\Lambda+\Lambda^2) (2a-\Lambda)-6a-2\Lambdaa [/mm] =
[mm] (\Lambda^2-4\Lambda+3)(2a-\Lambda)-6a-2\Lambdaa
[/mm]
[mm] -\Lambda^3+2a\Lambda^2+4\Lambda^2-6a\Lambda-3 [/mm] raus stimmt das?
um die Eigenwerte zu bestimmen muss ich ja die Nullstellen des char. Polynoms ermitteln, aber wie mache ich das jetzt wegen der Abhängigkeit?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo capri,
> Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix.
> A= [mm]\begin{pmatrix}
3 & 0 & 2 \\
0 & 1 & a \\
0 & 2 & 2a
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich habe als erstes das char. Polynom gebildet.
> da habe ich
> [mm](3-\Lambda)(1-\Lambda)(2a-\Lambda)-(2a)(3-\Lambda)[/mm] =
> [mm](3-3\Lambda-1\Lambda+\Lambda^2) (2a-\Lambda)-6a-2\Lambdaa[/mm]
> =
> [mm](\Lambda^2-4\Lambda+3)(2a-\Lambda)-6a-2\Lambdaa[/mm]
> [mm]-\Lambda^3+2a\Lambda^2+4\Lambda^2-6a\Lambda-3[/mm] raus stimmt
> das?
>
Das muss doch so lauten:
[mm]-\Lambda^3+2a\Lambda^2+4\Lambda^2-6a\Lambda-3\blue{\Lambda}[/mm]
> um die Eigenwerte zu bestimmen muss ich ja die Nullstellen
> des char. Polynoms ermitteln, aber wie mache ich das jetzt
> wegen der Abhängigkeit?
>
Nun, da muss eine Fallunterscheidung her.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Mi 26.06.2013 | | Autor: | capri |
ja danke hab mein Fehler gesehen.
ich könnte ja ein [mm] \Lambda [/mm] ausklammern.
dann hätte ich doch [mm] -\Lambda(\Lambda^2-2a\Lambda-4\Lambda+6a+3)
[/mm]
1.Fall a=0
[mm] -\Lambda(\Lambda^2-4\Lambda+3)
[/mm]
[mm] \Lambda_1 [/mm] =0 oder [mm] \Lambda_2 [/mm] =1 oder [mm] \Lambda_3=3 [/mm]
und was soll ich als zweiten fall nehmen für a? a<0 zb. -1 und dritter Fall a>0 zb 1?
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Hallo,
> ja danke hab mein Fehler gesehen.
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> ich könnte ja ein [mm]\Lambda[/mm] ausklammern. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> dann hätte ich doch
> [mm]-\Lambda(\Lambda^2-2a\Lambda-4\Lambda+6a+3)[/mm]
> 1.Fall a=0
Das ist nicht die notwendige Fallunterscheidung.
Fasse die Terme mal gescheit zusammen: [mm]\Lambda^2-2a\Lambda-4\Lambda+6a+3=\Lambda^2-(2a+4)\Lambda+(6a+3)[/mm]
Das [mm]=0[/mm] setzen und dann gem. p/q-Formel bzgl. der Diskriminante eine Fallunterscheidung machen ...
(Wahlweise mache quadratische Ergänzung ...)
>
> [mm]-\Lambda(\Lambda^2-4\Lambda+3)[/mm]
>
> [mm]\Lambda_1[/mm] =0 oder [mm]\Lambda_2[/mm] =1 oder [mm]\Lambda_3=3[/mm]
>
> und was soll ich als zweiten fall nehmen für a? a<0 zb. -1
> und dritter Fall a>0 zb 1?
Nein, die Fälle sind nach meiner überschlägigen Rechnung dann
1) [mm]a=1[/mm]
2) [mm]a>1[/mm]
3) [mm]a<1[/mm]
wobei 2) und 3) dieselben Eigenwerte liefern ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Mi 26.06.2013 | | Autor: | capri |
ich konnte dir nicht ganz folgen wie bist du auf 1.Fall a = 1 gekommen?
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Hallo nochmal,
> ich konnte dir nicht ganz folgen wie bist du auf 1.Fall a =
> 1 gekommen?
Durch Nachrechnen.
Wir hatten [mm]\Lambda^2-(2a+4)\Lambda+(6a+3)=0[/mm] zu lösen.
p/q-Formel:
[mm]\Lambda_{2,3}=\frac{2a+4}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{2a+4}{2}\right)^2-6a-3}=a+2\pm\sqrt{(a+2)^2-6a-3}[/mm]
Hier hängen doch die Lösungen für [mm]\Lambda[/mm] von der Diskriminante ab ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Mi 26.06.2013 | | Autor: | capri |
[mm] a+2\pm\sqrt{(a+2)^2-6a-3} [/mm] wenn ich mir jetzt das angucke und 1 für a einsetze ist die Diskriminante =0 und das muss immer sein damit ich eine Fallunterscheidung machen kann?
also wenn sagen wir mal bei a=3 die Diskriminante 0 wäre müsste ich 1.Fall a=3 a<3 a>3 ?
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Hallo, du bekommst für die Diskriminante nach Auflösen der Klammer
[mm] a^2-2a+1
[/mm]
jetzt untersuche:
1. Fall: [mm] a^2-2a+1<0
[/mm]
2. Fall: [mm] a^2-2a+1=0
[/mm]
3. Fall: [mm] a^2-2a+1>0
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Mi 26.06.2013 | | Autor: | capri |
ja wenn ich [mm] a^2-2a+1=0 [/mm] nehme hab ich mit der PQ formel 1 heraus.
bei <0 würde nicht gehen und größer als 0 eigentlich unendlich viele oder nicht? :S ich habe gerade einen riesen denkfehler drinnen glaub ich.
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> ja wenn ich [mm]a^2-2a+1=0[/mm] nehme hab ich mit der PQ formel 1
> heraus.
>
> bei <0 würde nicht gehen und größer als 0 eigentlich
> unendlich viele oder nicht? :S ich habe gerade einen riesen
> denkfehler drinnen glaub ich.
Hallo,
ja,
[mm] (a-1)^2<0 [/mm] hat keine Lösung,
und [mm] (a-1)^2>0 [/mm] ist richtig für alle [mm] a\not=1.
[/mm]
Grandios.
Und nun müßtest Du mal drüber nachdenken, was das für Deine Eigenwerte bedeutet, denn darum ging's ja eigentlich.
Allerdings dünkt mir, daß Du gleich bei der Berechnung des charakteristischen Polynoms einen Fehler gemacht hast, denn die Matrix A hat ja auf jeden Fall den EW 3:
es ist doch det [mm] (A-\lambda [/mm] E)=det [mm] \begin{pmatrix} 3-\lambda & 0 & 2 \\ 0 & 1-\lambda & a \\ 0 & 2 & 2a-\lambda \end{pmatrix} $=(3-\lambda)*det\begin{pmatrix} 1-\lambda & a \\ 2 & 2a-\lambda \end{pmatrix} [/mm] $.
LG Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:24 Do 27.06.2013 | | Autor: | fred97 |
Manchmal schadet all zuviel Ausmultipliziererei erheblich !
$ [mm] (3-\Lambda)(1-\Lambda)(2a-\Lambda)-(2a)(3-\Lambda)= (3-\Lambda)*[(1-\Lambda)(2a-\lambda)-2a]=(3-\Lambda)*[\Lambda^2-\Lambda(1+2a)]=\Lambda(3-\Lambda)(\Lambda-(1+2a))$
[/mm]
FRED
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PQFormel