Eigenwerte ohne zu rechnen < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:55 Mi 27.04.2016 | | Autor: | Paddi15 |
| Aufgabe | Ich habe eine paar einfache 3x3-Marizen, die alle Rang 1 haben, und den dritten Eigenwert berechne ich über die Spur, da diese eine Ähnlichkeitsinvariante ist.
Da es sich um eine 3x3-Matrix handelt, und der Rang 1 ist, gilt ja -> Rang(A) = dim(V) - dim(Kern(A)). Aber irgendwie hat das doch nichts mit der Dimension des Kerns zu tun, dass Null doppelter Eigenwert ist, oder?
Ich weiß, dass 0 doppelter Eigenwert sein soll. Aber irgendwie fehlt mir hier das technische Verständnis.
Danke schön! |
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 Mi 27.04.2016 | | Autor: | Jule2 |
Hi Paddi,
also ich meine mich erinnern zu können das die Vielfachheit des Eigenwertes 0 immer die Dimension des Kerns ist!
Und somit hat deine 3x3 Matrix Rang 1 und die Spur ist wie du ja schon selber geschrieben hast der fehlende Eigenwert!!
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Mi 27.04.2016 | | Autor: | Paddi15 |
Ja, diese Idee hatte ich schon auch.
Aber stimmt leider nicht immer.
Denn wenn die Spur 0 ist. Ist ja die Vielfachheit des Eigenwerten 0 ja 3. Aber die Dimension des Kerns ist immer noch 2.
Also muss es einen anderen Beweis geben, der immer gilt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 Mi 27.04.2016 | | Autor: | fred97 |
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> Ja, diese Idee hatte ich schon auch.
> Aber stimmt leider nicht immer.
> Denn wenn die Spur 0 ist. Ist ja die Vielfachheit des
> Eigenwerten 0 ja 3. Aber die Dimension des Kerns ist immer
> noch 2.
>
> Also muss es einen anderen Beweis geben, der immer gilt.
Du solltest vielleicht mal sagen, von welcher Vielfacheit Du redest.
Es gibt die algebraische Vielfachheit eines Eigenwertes [mm] \lambda [/mm] (= Ordnung der Nullstelle [mm] \lambda [/mm] des char. Polynoms und geometrische Vielfachheit ( = Dimension des zu [mm] \lambda [/mm] geh. Eigenraumes).
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:10 Mi 27.04.2016 | | Autor: | Paddi15 |
Ok, Vielfachheit ist möglicherweise falsch ausgedrückt.
Ich soll ja nicht rechnen, also brauche ich auch nicht über algebraische und geometrische Vielfachheiten zu argumentieren.
Das einzige was ich weiß ist, dass die 3x3-Matrix Rang 1 hat.
Und will nur wissen, wie man beweist, dass die Null doppelter Eigenwert ist, wenn die Spur ungleich Null ist. Und dreifacher Eigenwert, wenn die Spur gleich Null ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Mi 27.04.2016 | | Autor: | fred97 |
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> Ok, Vielfachheit ist möglicherweise falsch ausgedrückt.
> Ich soll ja nicht rechnen, also brauche ich auch nicht
> über algebraische und geometrische Vielfachheiten zu
> argumentieren.
Von Argumentieren sprach ich nicht. Ich wollte nur wissen, welche Vielfachheit Du meinst.
Ich gehe mal davon aus, dass Du die algebraische Vielfacheit meinst.
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> Das einzige was ich weiß ist, dass die 3x3-Matrix Rang 1
> hat.
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> Und will nur wissen, wie man beweist, dass die Null
> doppelter Eigenwert ist, wenn die Spur ungleich Null ist.
> Und dreifacher Eigenwert, wenn die Spur gleich Null ist.
Ich hätte einen Beweis.
Dabei verwend ich:
Sei $A$ eine $3 [mm] \times [/mm] 3$- Matrix. Dann gilt für das char. Polynom [mm] $p_A(\lambda) =\det(\lambda [/mm] E-A)$:
[mm] $p_A(\lambda) [/mm] = [mm] \lambda^3 [/mm] - [mm] spur(A)\cdot\lambda^2 [/mm] + ( [mm] \det(A_1) [/mm] + [mm] \det(A_2) [/mm] + [mm] \det(A_3))\cdot \lambda [/mm] - [mm] \det(A),$
[/mm]
wobei [mm] A_i [/mm] die 2 [mm] \times [/mm] 2 - Matrix ist, die durch Streichen der i-ten Zeile und der i-ten Spalte von A entsteht.
Hat nun $A$ den Rang 1, so ist [mm] \det(A)=0. [/mm] Aus dem gleichen Grund ist [mm] \det(A_j)=0 [/mm] für j=1,2,3.
Wir haben also:
[mm] $p_A(\lambda) [/mm] = [mm] \lambda^3 [/mm] - [mm] spur(A)\cdot\lambda^2$
[/mm]
daher
[mm] $p_A(\lambda) [/mm] = [mm] \lambda^2(\lambda [/mm] - spur(A))$
$A$ hat also die Eigenwerte 0 und spur(A).
Ist spur(A) [mm] \ne [/mm] 0, so hat der Eigenwert 0 die algebraische Vielfachheit 2.
Ist spur(A) = 0, so hat der Eigenwert 0 die algebraische Vielfachheit 3.
Entpricht das Deinen Wünschen ?
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:43 Mi 27.04.2016 | | Autor: | Paddi15 |
Vielen lieben Dank.
Jetzt kann ich mir gut vorstellen, warum das immer so gilt.
Danke für die Unterstützung.
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