Eigenwerte symm. Matrizen < Eigenwertprobleme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:30 Di 21.04.2009 | | Autor: | Lessi |
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
Hallo,
ich habe gelesen dass symmetrische Matrizen immer reelle Eigenwerte besitzen.
Gibt es vielleicht eine eifache Erklärung dazu? Und wenn ja welche? Wo kann ich genaueres darüber lesen?
Danke schon mal im Voraus für eure Mühe!
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Hallo Jessica,
> Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
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> Hallo,
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> ich habe gelesen dass symmetrische Matrizen immer reelle
> Eigenwerte besitzen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Gibt es vielleicht eine eifache Erklärung dazu? Und wenn ja
> welche? Wo kann ich genaueres darüber lesen?
Wenn du einen Eigenwert [mm] $\lambda=x+iy$ [/mm] hast, so ist [mm] $\overline{\lambda}=x-iy$ [/mm] auch einer, klar.
Nennen wir die symm. Matrix $A$, dann ist also [mm] $Av=\lambda [/mm] v$ und [mm] $A\overline{v}=\overline{\lambda}\overline{v}$
[/mm]
Wegen der Symmetrie von $A$ ist [mm] $\red{\overline{\lambda}\overline{v}^Tv}=\left(\overline{\lambda v}\right)^Tv=\left(\overline{Av}\right)^Tv=\overline{v}^T\overline{A}^Tv$ [/mm] nach den Regeln für das Transponieren
[mm] $=\overline{v}^TAv$ [/mm] da [mm] $A^T=A$ [/mm] ($A$ symmetrisch)
[mm] $=\overline{v}^T\left(\lambda v\right)=\red{\lambda\overline{v}^Tv}$
[/mm]
Damit (da [mm] $\overline{v}^Tv$ [/mm] reell und [mm] \neq [/mm] 0 ist) ist [mm] $\overline{\lambda}=\lambda$, [/mm] also [mm] $\lambda\in\IR$
[/mm]
Ich denke, dieser oder ein ganz ähnlicher Beweis steht in jedem LA-Buch, zB. im Fischer, das ist ganz gut ...
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> Danke schon mal im Voraus für eure Mühe!
LG
schachuzipus
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