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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:37 Mi 26.05.2010 | | Autor: | StevieG |
| Aufgabe | Aufgabe
A [mm] =\pmat{ 2 & -2 & -2 \\ 3 & -5 & -6 \\ -1 & 2 & 3}
[/mm]
Bestimmen Sie jeweils die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren.
Hinweis: Ein Eigenwert von A ist 1. |
Ich habe als erstes die Eigenwerte bestimmt. Die lauten [mm] \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=1 ,\lambda_{3}= [/mm] -2
Eigenvektor für [mm] \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=1
[/mm]
nach Gauß-Algorithmus erweiterte Koeffizientenmatrix:
[mm] \pmat{ 1 & -2 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
[mm] x_{1} -2x_{2}-2x_{3} [/mm] = 0
Ich habe jetzt aber überlegt und mind. 3 Eigenvektoren gefunden
[mm] \lambda\vektor{4 \\ 1 \\ 1} [/mm] , [mm] \lambda\vektor{6 \\ 2 \\ 1} [/mm] , [mm] \lambda\vektor{6 \\ 1\\ 2} [/mm]
Wenn ich diese Vektoren mit der Matrix A multipliziere erhalte ich wieder den Vektor.
Sind die Eigenvektoren richtig? Wieso gibt es für die 2 Eigenwerte mehr als 2 Eigenvektoren?
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> Aufgabe
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> A [mm]=\pmat{ 2 & -2 & -2 \\ 3 & -5 & -6 \\ -1 & 2 & 3}[/mm]
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> Bestimmen Sie jeweils die Eigenwerte und die zugehörigen
> Eigenvektoren.
> Hinweis: Ein Eigenwert von A ist 1.
> Ich habe als erstes die Eigenwerte bestimmt. Die lauten
> [mm]\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=1 ,\lambda_{3}=[/mm] -2
>
> Eigenvektor für [mm]\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=1[/mm]
>
> nach Gauß-Algorithmus erweiterte Koeffizientenmatrix:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
>
>
> [mm]x_{1} -2x_{2}-2x_{3}[/mm] = 0
>
> Ich habe jetzt aber überlegt und mind. 3 Eigenvektoren
> gefunden
>
> [mm]\lambda\vektor{4 \\ 1 \\ 1}[/mm] , [mm]\lambda\vektor{6 \\ 2 \\ 1}[/mm]
> , [mm]\lambda\vektor{6 \\ 1\\ 2}[/mm]
>
> Wenn ich diese Vektoren mit der Matrix A multipliziere
> erhalte ich wieder den Vektor.
>
> Sind die Eigenvektoren richtig? Wieso gibt es für die 2
> Eigenwerte mehr als 2 Eigenvektoren?
Hallo,
es gibt sogar noch mehr Eigenvektoren zum Eigenwert 1, nämlich unendlich viele.
Was Du suchst, ist allerdings eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert 1, und da der Eigenwert 1 die alg. Vielfachheit 2 hat, kann der Eigenraum höchstens die Dimension 2 haben - wahrscheinlich meintest Du das.
Des Rätsels Lösung: die von Dir (richtig) angegebenen Eigenvektoren sind linear abhängig.
Möglicherweise gehst Du die Sache nicht systematisch genug an.
> nach Gauß-Algorithmus erweiterte Koeffizientenmatrix:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm].
Das führende Element der Nichtnullzeile steht in der ersten Spalte (die führende 1), also kannst Du die 2. und 3. Variable frei wählen.
Mit
[mm] x_3=t
[/mm]
[mm] x_2=s
[/mm]
bekommst Du
[mm] x_1=2s+2t.
[/mm]
Damit haben die Lösungen die Gestalt [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{2s+2t\\s\\t}=s\vektor{2\\1\\0}+t\vektor{2\\0\\1},
[/mm]
und die beiden Vektoren sind damit eine Basis des Lösungsraumes.
Die Basis ist nicht eindeutig. Je zwei von Deinen drei vektoren sind eine ebenso gute Basis - nur dürfen es nicht drei sein.
(Der Rang von (A-1*E) ist 1, also hat der Kern die Dimension 3-1=2.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Mi 26.05.2010 | | Autor: | StevieG |
Ok danke erstmal.
Die algebraische Vielfachheit von [mm] \lambda [/mm] = 1 ist 2 weil dieser Eigenwert doppelte Nullstelle ist?
Und die geometrische Vielfachheit wäre in diesem Fall auch 2, weil wir mit t und s 2 Parameter haben?
Das müsste bedeuten das diese Matrix diagonalisierbar ist wenn auch [mm] \lambda [/mm] = -2 in alg. und geom. Vielfachheit übereinstimmen?
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Hallo StevieG,
> Ok danke erstmal.
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> Die algebraische Vielfachheit von [mm]\lambda[/mm] = 1 ist 2 weil
> dieser Eigenwert doppelte Nullstelle ist? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Und die geometrische Vielfachheit wäre in diesem Fall auch
> 2, weil wir mit t und s 2 Parameter haben?
Hmm, besser, weil der zum Eigenwert [mm] $\lambda=1$ [/mm] gehörige Eigenraum 2-dim. ist (er wird ja (z.B.) von den 2 Eigenvektoren, die Angela angegeben hat, aufgespannt)
>
> Das müsste bedeuten das diese Matrix diagonalisierbar ist
> wenn auch [mm]\lambda[/mm] = -2 in alg. und geom. Vielfachheit
> übereinstimmen?
Das ist aber zwangsläufig der Fall, die algebr. VFH ist 1, da [mm] $\lambda=-2$ [/mm] einfache NST im char. Polynom ist, der zugeh. Eigenraum hat Dimension (=geometr. VFH) [mm] $\le [/mm] 1$, aber auch mindestens 1, also genau 1
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Mi 08.09.2010 | | Autor: | StevieG |
Was hat es mit dem führendem Element auf sich?
Man kann doch egal welche variable = [mm] \lambda [/mm] setzen?
Und dann nach den anderen beiden umstellen
zB könnte man doch [mm] x_{1} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] setzen und nach den anderen beiden umstellen?
Lg
Stevie
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Der Gag der Zeilenumformungen ist es gerade eine Dreiecksform zu erhalten. In der Dreiecksform sind die führenden Einsen nun einmal die freien Variablen und der Rest der Variablen ist die Kategorie der gebundenen Variablen, da diese von den freien abhängen.
Natürlich kannst du nach Umnummerierung auch andere Variablen mit [mm]\lambda[/mm] ersetzen.
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