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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenwerte und Basis
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Eigenwerte und Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:45 Fr 04.01.2013
Autor: lukas843

Aufgabe
Berechnen Sie die Eigenwerte udn die Basis der zugehörigen eigenräume für [mm] $A=\pmat{ -5 & 2 \\ 3 & -3 }$ [/mm]

Hallo ich habe als Eigenwerte
[mm] $\lambda_1=-4+\wurzel{7}$ [/mm]
[mm] $\lambda_2=-4-\wurzel{7}$ [/mm]

Aber wie Rechne ich die Basis der Eigenräume aus?

        
Bezug
Eigenwerte und Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:05 Fr 04.01.2013
Autor: MathePower

Hallo lukas843,

> Berechnen Sie die Eigenwerte udn die Basis der zugehörigen
> eigenräume für [mm]A=\pmat{ -5 & 2 \\ 3 & -3 }[/mm]
>  Hallo ich
> habe als Eigenwerte
> [mm]\lambda_1=-4+\wurzel{7}[/mm]
>  [mm]\lambda_2=-4-\wurzel{7}[/mm]
>  
> Aber wie Rechne ich die Basis der Eigenräume aus?


Indem  Du nicht-triviale Lösungen von

[mm]\left(A-\lambda_{i}*E\right)*\vec{v}=\vec{0}, \ i=1,2[/mm]

bestimmst (E Einheitsmatrix., [mm]v \in \IR^{2}[/mm]).


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Eigenwerte und Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:00 Fr 04.01.2013
Autor: lukas843


> Hallo lukas843,
>  
> > Berechnen Sie die Eigenwerte udn die Basis der zugehörigen
> > eigenräume für [mm]A=\pmat{ -5 & 2 \\ 3 & -3 }[/mm]
>  >  Hallo
> ich
> > habe als Eigenwerte
> > [mm]\lambda_1=-4+\wurzel{7}[/mm]
>  >  [mm]\lambda_2=-4-\wurzel{7}[/mm]
>  >  
> > Aber wie Rechne ich die Basis der Eigenräume aus?
>
>
> Indem  Du nicht-triviale Lösungen von
>  
> [mm]\left(A-\lambda_{i}*E\right)*\vec{v}=\vec{0}, \ i=1,2[/mm]
>  
> bestimmst (E Einheitsmatrix., [mm]v \in \IR^{2}[/mm]).
>  
>

Danke dann komme ich zu :
[mm] $\pmat{ -1-\wurzel{7} & 2 \\ 3 & 1-\wurzel{7} }$ [/mm]
[mm] $\pmat{ -1-\wurzel{7} & 2 \\ 0 & 0 }$ [/mm]
also [mm] $v_1=-0,54858377s$ [/mm]
[mm] $v_2=s$ [/mm]
[mm] $\vec{v}=s*\vektor{ -0,54858377\\ 1}$ [/mm]


für [mm] $\lambda_2$: [/mm]
[mm] $\pmat{ -1+\wurzel{7} & 2 \\ 3 & 1+\wurzel{7} }$ [/mm]
[mm] $\pmat{ -1+\wurzel{7} & 2 \\ 0 & 0 }$ [/mm]
also ist [mm] $v_1=1,215250437t$ [/mm]
[mm] $v_2=t$ [/mm]
[mm] $\vec{v}=t*\vektor{ 1,215250437\\ 1}$ [/mm]


Und diese Vektoren also
[mm] $\vektor{ 1,215250437\\ 1}$ [/mm]
und
[mm] $\vektor{ -0,54858377\\ 1}$ [/mm]
sind jetzt die basen?

Bezug
                        
Bezug
Eigenwerte und Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:13 Fr 04.01.2013
Autor: MathePower

Hallo lukas843,

> > Hallo lukas843,
>  >  
> > > Berechnen Sie die Eigenwerte udn die Basis der zugehörigen
> > > eigenräume für [mm]A=\pmat{ -5 & 2 \\ 3 & -3 }[/mm]
>  >  >  
> Hallo
> > ich
> > > habe als Eigenwerte
> > > [mm]\lambda_1=-4+\wurzel{7}[/mm]
>  >  >  [mm]\lambda_2=-4-\wurzel{7}[/mm]
>  >  >  
> > > Aber wie Rechne ich die Basis der Eigenräume aus?
> >
> >
> > Indem  Du nicht-triviale Lösungen von
>  >  
> > [mm]\left(A-\lambda_{i}*E\right)*\vec{v}=\vec{0}, \ i=1,2[/mm]
>  >  
> > bestimmst (E Einheitsmatrix., [mm]v \in \IR^{2}[/mm]).
>  >  
> >
>
> Danke dann komme ich zu :
>  [mm]\pmat{ -1-\wurzel{7} & 2 \\ 3 & 1-\wurzel{7} }[/mm]
>  [mm]\pmat{ -1-\wurzel{7} & 2 \\ 0 & 0 }[/mm]
>  
> also [mm]v_1=-0,54858377s[/mm]
>  [mm]v_2=s[/mm]
>  [mm]\vec{v}=s*\vektor{ -0,54858377\\ 1}[/mm]
>  
>
> für [mm]\lambda_2[/mm]:
>  [mm]\pmat{ -1+\wurzel{7} & 2 \\ 3 & 1+\wurzel{7} }[/mm]
>  [mm]\pmat{ -1+\wurzel{7} & 2 \\ 0 & 0 }[/mm]
>  
> also ist [mm]v_1=1,215250437t[/mm]
>  [mm]v_2=t[/mm]
>  [mm]\vec{v}=t*\vektor{ 1,215250437\\ 1}[/mm]
>  
>
> Und diese Vektoren also
>  [mm]\vektor{ 1,215250437\\ 1}[/mm]
>  und
>  [mm]\vektor{ -0,54858377\\ 1}[/mm]
>  sind jetzt die basen?


Da haben sich ein  paar Vorzeichenfehler eingeschlichen:

[mm]\vektor{ \blue{-}1,215250437\\ 1}[/mm]

[mm]\vektor{ \bluie{+}0,54858377\\ 1}[/mm]

bzw.

[mm]\vektor{ -\bruch{2}{\wurzel{7}-1}\\ 1}[/mm]

[mm]\vektor{ \bruch{2}{\wurzel{7}+1}\\ 1}[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Eigenwerte und Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:21 Fr 04.01.2013
Autor: lukas843

Achso ok danke :) und das nennt man dann basis?

Bezug
                                        
Bezug
Eigenwerte und Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:34 Fr 04.01.2013
Autor: MathePower

Hallo lukas843,


> Achso ok danke :) und das nennt man dann basis?


Ja, beide Vektoren zusammen bilden eine Basis.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Eigenwerte und Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:06 So 06.01.2013
Autor: lukas843

Ok danke :) Wie schreibe ich das nun korrekt auf?
einfach zb:
$B=s* [mm] \vektor{ -\bruch{2}{\wurzel{7}-1}\\ 1}+t*\vektor{ \bruch{2}{\wurzel{7}+1}\\ 1}$? [/mm]

Bezug
                                                        
Bezug
Eigenwerte und Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:13 So 06.01.2013
Autor: MathePower

Hallo lukas843,

> Ok danke :) Wie schreibe ich das nun korrekt auf?
>  einfach zb:
>  [mm]B=s* \vektor{ -\bruch{2}{\wurzel{7}-1}\\ 1}+t*\vektor{ \bruch{2}{\wurzel{7}+1}\\ 1}[/mm]?


So schreibst Du das auf:

[mm]B=\left\{\vektor{ -\bruch{2}{\wurzel{7}-1}\\ 1}, \ \vektor{ \bruch{2}{\wurzel{7}+1}\\ 1} \right\}[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
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