Eigenwerte und Basis < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 Fr 04.01.2013 | | Autor: | lukas843 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie die Eigenwerte udn die Basis der zugehörigen eigenräume für [mm] $A=\pmat{ -5 & 2 \\ 3 & -3 }$ [/mm] |
Hallo ich habe als Eigenwerte
[mm] $\lambda_1=-4+\wurzel{7}$
[/mm]
[mm] $\lambda_2=-4-\wurzel{7}$
[/mm]
Aber wie Rechne ich die Basis der Eigenräume aus?
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Hallo lukas843,
> Berechnen Sie die Eigenwerte udn die Basis der zugehörigen
> eigenräume für [mm]A=\pmat{ -5 & 2 \\ 3 & -3 }[/mm]
> Hallo ich
> habe als Eigenwerte
> [mm]\lambda_1=-4+\wurzel{7}[/mm]
> [mm]\lambda_2=-4-\wurzel{7}[/mm]
>
> Aber wie Rechne ich die Basis der Eigenräume aus?
Indem Du nicht-triviale Lösungen von
[mm]\left(A-\lambda_{i}*E\right)*\vec{v}=\vec{0}, \ i=1,2[/mm]
bestimmst (E Einheitsmatrix., [mm]v \in \IR^{2}[/mm]).
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Fr 04.01.2013 | | Autor: | lukas843 |
> Hallo lukas843,
>
> > Berechnen Sie die Eigenwerte udn die Basis der zugehörigen
> > eigenräume für [mm]A=\pmat{ -5 & 2 \\ 3 & -3 }[/mm]
> > Hallo
> ich
> > habe als Eigenwerte
> > [mm]\lambda_1=-4+\wurzel{7}[/mm]
> > [mm]\lambda_2=-4-\wurzel{7}[/mm]
> >
> > Aber wie Rechne ich die Basis der Eigenräume aus?
>
>
> Indem Du nicht-triviale Lösungen von
>
> [mm]\left(A-\lambda_{i}*E\right)*\vec{v}=\vec{0}, \ i=1,2[/mm]
>
> bestimmst (E Einheitsmatrix., [mm]v \in \IR^{2}[/mm]).
>
>
Danke dann komme ich zu :
[mm] $\pmat{ -1-\wurzel{7} & 2 \\ 3 & 1-\wurzel{7} }$
[/mm]
[mm] $\pmat{ -1-\wurzel{7} & 2 \\ 0 & 0 }$
[/mm]
also [mm] $v_1=-0,54858377s$
[/mm]
[mm] $v_2=s$
[/mm]
[mm] $\vec{v}=s*\vektor{ -0,54858377\\ 1}$
[/mm]
für [mm] $\lambda_2$:
[/mm]
[mm] $\pmat{ -1+\wurzel{7} & 2 \\ 3 & 1+\wurzel{7} }$
[/mm]
[mm] $\pmat{ -1+\wurzel{7} & 2 \\ 0 & 0 }$
[/mm]
also ist [mm] $v_1=1,215250437t$
[/mm]
[mm] $v_2=t$
[/mm]
[mm] $\vec{v}=t*\vektor{ 1,215250437\\ 1}$
[/mm]
Und diese Vektoren also
[mm] $\vektor{ 1,215250437\\ 1}$
[/mm]
und
[mm] $\vektor{ -0,54858377\\ 1}$
[/mm]
sind jetzt die basen?
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Hallo lukas843,
> > Hallo lukas843,
> >
> > > Berechnen Sie die Eigenwerte udn die Basis der zugehörigen
> > > eigenräume für [mm]A=\pmat{ -5 & 2 \\ 3 & -3 }[/mm]
> > >
> Hallo
> > ich
> > > habe als Eigenwerte
> > > [mm]\lambda_1=-4+\wurzel{7}[/mm]
> > > [mm]\lambda_2=-4-\wurzel{7}[/mm]
> > >
> > > Aber wie Rechne ich die Basis der Eigenräume aus?
> >
> >
> > Indem Du nicht-triviale Lösungen von
> >
> > [mm]\left(A-\lambda_{i}*E\right)*\vec{v}=\vec{0}, \ i=1,2[/mm]
> >
> > bestimmst (E Einheitsmatrix., [mm]v \in \IR^{2}[/mm]).
> >
> >
>
> Danke dann komme ich zu :
> [mm]\pmat{ -1-\wurzel{7} & 2 \\ 3 & 1-\wurzel{7} }[/mm]
> [mm]\pmat{ -1-\wurzel{7} & 2 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> also [mm]v_1=-0,54858377s[/mm]
> [mm]v_2=s[/mm]
> [mm]\vec{v}=s*\vektor{ -0,54858377\\ 1}[/mm]
>
>
> für [mm]\lambda_2[/mm]:
> [mm]\pmat{ -1+\wurzel{7} & 2 \\ 3 & 1+\wurzel{7} }[/mm]
> [mm]\pmat{ -1+\wurzel{7} & 2 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> also ist [mm]v_1=1,215250437t[/mm]
> [mm]v_2=t[/mm]
> [mm]\vec{v}=t*\vektor{ 1,215250437\\ 1}[/mm]
>
>
> Und diese Vektoren also
> [mm]\vektor{ 1,215250437\\ 1}[/mm]
> und
> [mm]\vektor{ -0,54858377\\ 1}[/mm]
> sind jetzt die basen?
Da haben sich ein paar Vorzeichenfehler eingeschlichen:
[mm]\vektor{ \blue{-}1,215250437\\ 1}[/mm]
[mm]\vektor{ \bluie{+}0,54858377\\ 1}[/mm]
bzw.
[mm]\vektor{ -\bruch{2}{\wurzel{7}-1}\\ 1}[/mm]
[mm]\vektor{ \bruch{2}{\wurzel{7}+1}\\ 1}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Fr 04.01.2013 | | Autor: | lukas843 |
Achso ok danke :) und das nennt man dann basis?
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Hallo lukas843,
> Achso ok danke :) und das nennt man dann basis?
Ja, beide Vektoren zusammen bilden eine Basis.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 So 06.01.2013 | | Autor: | lukas843 |
Ok danke :) Wie schreibe ich das nun korrekt auf?
einfach zb:
$B=s* [mm] \vektor{ -\bruch{2}{\wurzel{7}-1}\\ 1}+t*\vektor{ \bruch{2}{\wurzel{7}+1}\\ 1}$?
[/mm]
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Hallo lukas843,
> Ok danke :) Wie schreibe ich das nun korrekt auf?
> einfach zb:
> [mm]B=s* \vektor{ -\bruch{2}{\wurzel{7}-1}\\ 1}+t*\vektor{ \bruch{2}{\wurzel{7}+1}\\ 1}[/mm]?
So schreibst Du das auf:
[mm]B=\left\{\vektor{ -\bruch{2}{\wurzel{7}-1}\\ 1}, \ \vektor{ \bruch{2}{\wurzel{7}+1}\\ 1} \right\}[/mm]
Gruss
MathePower
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