Eigenwerte und Eigenraum < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 So 04.07.2004 | | Autor: | Benny |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Hallo
Ich hab schon mal in den anderen Fragen zum Thema Eigenwerte nachgesehen, aber ich komme trozdem nicht weiter. Mein Problem ist das ich zwar theoretisch weis wie ich die Eigenwerte für Matrizen berechne, aber in der Praxis ...
Ich habe z.B. eine Aufgabe in der die Marix
A = [mm] \begin{pmatrix}
1 & 2 & 1 \\
5 & 3 & 1 \\
2 & 0 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
gegeben ist. Zu dieser sollen alle Eigenwerte und der Eigenraum zu einem Eigenwert [mm] \lambda [/mm] mit [mm] |\lambda|\le1 [/mm] berechnet werden.
Leider hänge ich schon direkt am Anfang fest. Nachdem ich [mm] \lambda [/mm] mit der Eiheitsmatrix und A multipliziert hab, ensteht dann
[mm] \begin{vmatrix}
1 - \lambda & 2 & 1 \\
5 & 3 - \lambda & 1 \\
2 & 0 & 1 - \lambda
\end{vmatrix}
[/mm]
Nach der Formel zur Berechnung von Determinanten für 3 x 3 Matrizen bekomme ich dann ein Polynom 3. Grades ( [mm] \lambda^3 [/mm] - [mm] 3\lambda^2 [/mm] + [mm] 5\lambda [/mm] - 9 ) und weis nicht mehr weiter. Könnt ihr mir einen Tip geben wie ich weitermachen soll oder war mein Ansatz von Anfang an Fehlerhaft und gibt es einen leichteren Weg.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 So 04.07.2004 | | Autor: | andreas |
hi Benny
also ich erhalte als charakteristische polynom (nach der cramer'schen regel):
[m] \chi_A(\lambda) = (1- \lambda) (3 - \lambda) (1 - \lambda) + 4 + 0 - (6 - 2 \lambda) - 0 - (10 - 10 \lambda) = - \lambda^3 + 5 \lambda^2 - 7 \lambda + 3 + 12 \lambda - 12 = - \lambda^3 + 5\lambda^2 + 5\lambda - 9 [/m]
und als nullstellen des charakteristischen polynoms und damit eigenwerte:
[m] \lambda_1 = 1, \; \lambda_2 = 2 + \sqrt{13}, \lambda_3 = 2 - \sqrt{13} [/m], wobei man den ersten erraten kann und die weitern dann mittels mitternachtsformel erhält.
schau mal ob du damit schon weiterkommst.
gruß andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 So 04.07.2004 | | Autor: | Benny |
Ok, mir ist dann nach reiflicher Überlegung auch aufgefallen das - * - = + und bin dann auf das gleiche Polynom gekommen. ![[buchlesen]](/images/smileys/buchlesen.gif "[buchlesen]")
Allerdings hab ich Probleme mit der Mitternachtsformel, ich kenne sie nur für Polynome 2. Grades nicht für Polynome 3. Grades, du meinst doch:
[mm] ax^2 [/mm] + bx + c = 0
[mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{-b\pm\wurzel{b^2 - 4ac}}{2a}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 So 04.07.2004 | | Autor: | andreas |
ja genau diese formel meine ich.
das ist allgemien ein problem, dass man für polynome mit grad größer gleich 3 keine so elementaren lösungsformeln mehr angeben kann (für grad 3 und 4 gibt es zwar welche, aber damit will ich dich jetzt nicht belästigen). daher bietet es sich an, eine nullstelle zu "erraten" (also einfach mal ein paar wetre einsetzen und schauen ob das polynom null wird). das funtioniert hier erfreulicherweise schon mit [m] \lambda_0 = 1[/m].
da nun [m] (\lambda - \lambda_0) [/m] für alle nullstellen [m] \lambda_0 [/m] ein teiler des polynoms ist, bietet es sich nun an das polynom durch [m] (\lambda - 1)[/m] zu dividieren. danach erhältst du einfach ein quadratisches polynom, das die selben nullstellen hat, wie dein ausgangspolynom, wobei die vielfachheit der nullstelle 1 um 1 abgenommen hat.
ich erhalte nach polynomdivision folgendes polynom, dessen nullstellen man dann mit der mitternachtsformel ermitteln kann:
[m] - \lambda^2 + 4\lambda + 9 [/m]
gruß andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 So 04.07.2004 | | Autor: | Benny |
Ok, dann bleibt mir ja für den Eigenraum nur noch ein [mm] \lambda. [/mm] Also:
[mm] \begin{vmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 5 & 2 & 1\\ 2 & 0 & 0 \end{vmatrix} [/mm] * [mm] \begin{vmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{vmatrix} [/mm] = [mm] \begin{vmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{vmatrix}
[/mm]
[mm] 2x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 0
[mm] 5x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 0
[mm] 2x_1 [/mm] = 0
und wenn ich das jetzt richtig deute (hoffentlich)
bei [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 0
[mm] \begin{vmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{vmatrix} [/mm] = [mm] \gamma \begin{vmatrix} 0 \\ -\bruch{1}{2} \\ 1 \end{vmatrix}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 So 04.07.2004 | | Autor: | andreas |
hi Benny
das sieht ja alles sehr gut aus. ich denke das stimmt so!
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 So 04.07.2004 | | Autor: | Benny |
Dann versuch ich mal die beiden anderen:
bei [mm] 2x_1 [/mm] = 0
[mm] \begin{vmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{vmatrix} [/mm] = [mm] \begin{vmatrix} \bruch{1}{2} \\ 0 \\ 0 \end{vmatrix}
[/mm]
Aber [mm] 5x_1 [/mm] + [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] macht mir ein wenig Probleme, kann man das so sehen das weil [mm] 2x_1 [/mm] = 0 ist ja auch [mm] x_1 [/mm] = 0 und dann wäre es ja eigentlich 0 + [mm] 2x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] = 0 und damit nochmal die erste Gleichung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:47 So 04.07.2004 | | Autor: | andreas |
hi Benny
wenn du eine reaktion auf deinen post willst kennzeichen ihn lieber als frage!
was machst du denn jetzt?
ich dachte in dem post von 20 00 h wäre das schon dein vorschlag für einen eigenvektor gewesen (der war nämlich richtig!).
du hast da ja eine gleichungssystem
$ [mm] \left( \begin{array}{ccc} 0 & 2 & 1 \\ 5 & 2 & 1\\ 2 & 0 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) [/mm] = [mm] \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) [/mm] $
angegeben gehabt, dass du lösen wolltest. man sieht aber sofort, dass die zweite zeile gleich 1 mal der ersten und 5/2 mal der dritten zeile ist. somit kannst du diese zeile streichen (da sie linear abhängig von den anderen beiden zeilen ist und somit keine neue bedingung liefert).
aus der letzten zeile folgt dann, dass [m] x_1 = 0 [/m] und aus der ersten [m] x_2 = -\frac{1}{2} x_3 [/m] womit man genau den von dir um 20 00 h angegebenen basisvektor des lösungsraumes und damit eigenvektoir erhält!
schau dir am besten nochmal das lösen von homogenen linearen gleichungssystemen an, denn nichts anderes ist das hier!
mfg andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:55 So 04.07.2004 | | Autor: | Benny |
Sorry, sitze wohl schon zu lange davor. Jetzt sehe ich es auch.
Trotzdem danke, ich mach jetzt erst mal Pause :)
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