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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 So 22.01.2012 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | Gegeben sei [mm] A=\pmat{ a & b \\ b & -a }\in M(2x2,\IR) [/mm] mit [mm] a^2+b^2=1 [/mm] und a,b [mm] \not= [/mm] 0.
Bestimmte alle Eigenwerte und Eigenvektoren von A! |
Ok, also wie bin ich vorgegangen:
[mm] det(A-\lambda_E)= det\pmat{ a-\lambda & b \\ b & -a-\lambda }=(a-\lambda)(-a-\lambda)-b^2=a^2+\lambda^2-b^2=2a^2-1+\lambda^2
[/mm]
So jetzt war ja [mm] a^2+b^2=1
[/mm]
Umgestellt: [mm] b^2=-a^2+1 [/mm] und in die Formel gesetzt:
[mm] \lambda^2=-2a^2+1 [/mm] /Wurzel
[mm] \lambda_1=\wurzel{-2a^2+1}
[/mm]
So und da darf das a nur folgende Werte annehmen: [mm] \wurzel{0,5} [/mm] und [mm] -\wurzel{0,5}
[/mm]
Andere Formel: [mm] a^2=1-b^2 [/mm] in Formel Eingesetzt:
[mm] \lambda_2=\wurzel{2b^2-1} [/mm] mit [mm] \wurzel{0,5}
Sodelle, sind das nun meine Eigenwerte? Was ist denn mit meinen Eigenvektoren?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 So 22.01.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Gegeben sei [mm]A=\pmat{ a & b \\ b & -a }\in M(2x2,\IR)[/mm] mit
> [mm]a^2+b^2=1[/mm] und a,b [mm]\not=[/mm] 0.
>
> Bestimmte alle Eigenwerte und Eigenvektoren von A!
> Ok, also wie bin ich vorgegangen:
>
> [mm]det(A-\lambda_E)= det\pmat{ a-\lambda & b \\ b & -a-\lambda }=(a-\lambda)(-a-\lambda)-b^2=a^2+\lambda^2-b^2=2a^2-1+\lambda^2[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm] $...={\color{red}-}a^2+\lambda^2-b^2$
[/mm]
>
> So jetzt war ja [mm]a^2+b^2=1[/mm]
>
> Umgestellt: [mm]b^2=-a^2+1[/mm] und in die Formel gesetzt:
>
> [mm]\lambda^2=-2a^2+1[/mm] /Wurzel
> [mm]\lambda_1=\wurzel{-2a^2+1}[/mm]
>
> So und da darf das a nur folgende Werte annehmen:
> [mm]\wurzel{0,5}[/mm] und [mm]-\wurzel{0,5}[/mm]
>
> Andere Formel: [mm]a^2=1-b^2[/mm] in Formel Eingesetzt:
>
> [mm]\lambda_2=\wurzel{2b^2-1}[/mm] mit [mm]\wurzel{0,5}
>
> Sodelle, sind das nun meine Eigenwerte? Was ist denn mit
> meinen Eigenvektoren?
Was soll mit denen sein? Die musst Du noch ausrechnen!
>
> Danke!
Gruß,
notinX
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