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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Sa 30.05.2009 | | Autor: | Help23 |
| Aufgabe | a) Berechnen sie die Eigenwerte [mm] \lambda1 [/mm] und [mm] \lambda2 [/mm] und Eigenvektoren von A
A = [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
b) Überprüfen sie die Eigenwerte, indem sie kontrollieren, ob
det A = [mm] \lambda1 \lambda2 [/mm] und
tr A = [mm] \lambda1 [/mm] + [mm] \lambda2 [/mm] gelten |
Hey Leute!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bin mir nicht sicher, ob meine Lösungen richtig sind, denn ich habe für
[mm] \lambda1 [/mm] = 1,75
[mm] \lambda2 [/mm] = 1,25 heraus bekommen
Wenn ich nun aber rechne det A = [mm] \lambda1 \* \lambda2 [/mm] also 1,75 [mm] \* [/mm] 1,25 erhalte ich 2,1875
det A müsste doch aber eigentlich sein -1
Das würde dann ja schon mal nicht passen.
Das Gleiche gilt für die Spur tr A = [mm] \lambda1 [/mm] + [mm] \lambda2, [/mm] denn tr A = 1,75 + 1,25 = 3
tr A müsste doch aber 1 sein.
Oder können die Eigenwerte doch richtig sein, auch wenn die Überprüfung anhand der Determinanten und der Spur nicht stimmt????
LG Help23
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:48 Sa 30.05.2009 | | Autor: | Sierra |
Hallo!
deine Überprüfung stimmt, folglich sind deine Eigenwerte falsch.
Die Eigenwerte bekommst du wie folgt:
Durch [mm] det(\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] - [mm] \pmat{ t & 0 \\ 0 & t }) [/mm] bekommst du das sogenannte charakteristische Polynom. Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind die Eigenwerte deiner Matrix A.
Gruß Sierra
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 Sa 30.05.2009 | | Autor: | Help23 |
Also, ich habe die Eigenwerte auch über das chrakteristische Polynom berechnet, dann muss ich da einen Fehler drin haben, denn ich aber nicht find :-(
Ich schreib einfach mal auf, was ich gemacht habe
0 = det (A [mm] -\lambda [/mm] E)
0= det [mm] \vmat{ 1- \lambda& 1 \\ 1 & 0 -\lambda }
[/mm]
0= (1 - [mm] \lambda) \* [/mm] (0 - [mm] \lambda) [/mm] - [mm] (1\*1)
[/mm]
0= 0 - [mm] \lambda [/mm] - 0 - [mm] \lambda^{2} [/mm] - 1
0= [mm] -\lambda [/mm] - [mm] \lambda^{2} [/mm] - 1
anschließend habe ich das in die pq - Formel eingesetzt..
p= -1 und q= -1
[mm] -\bruch{p}{2} [/mm] + [mm] \wurzel{(\bruch{p}{2})^2 - q} [/mm] für [mm] \lambda1 [/mm] heißt das dann ja
[mm] -\bruch{-1}{2} [/mm] + [mm] \wurzel{(\bruch{-1}{2})^2 - (-1)}
[/mm]
- (-0,5) + 0,25 - (-1) und das ergibt dann ja 1,75
und für [mm] \lambda [/mm] 2 dann
[mm] -\bruch{p}{2} [/mm] - [mm] \wurzel{(\bruch{p}{2})^2 - q}
[/mm]
[mm] -\bruch{-1}{2} [/mm] - [mm] \wurzel{(\bruch{-1}{2})^2 - (-1)}
[/mm]
-(-0,5) - 0,25 - (-1) = 1,25
So bin ich auf diese Werte gekommen....
Oder liegt mein Fehler in dem Charakteristischen Polynom???
LG Help23
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> Also, ich habe die Eigenwerte auch über das
> chrakteristische Polynom berechnet, dann muss ich da einen
> Fehler drin haben, denn ich aber nicht find :-(
>
> Ich schreib einfach mal auf, was ich gemacht habe
>
> 0 = det (A [mm]-\lambda[/mm] E)
>
> 0= det [mm]\vmat{ 1- \lambda& 1 \\ 1 & 0 -\lambda }[/mm]
> 0= (1 -
> [mm]\lambda) \*[/mm] (0 - [mm]\lambda)[/mm] - [mm](1\*1)[/mm]
> 0= 0 - [mm]\lambda[/mm] - 0 - [mm]\lambda^{2}[/mm] - 1
> 0= [mm]-\lambda[/mm] - [mm]\lambda^{2}[/mm] - 1
Hallo,
Du hast "minus mal minus ist plus" nicht beachtet, und deshalb ist Dein charakteristisches Polynom falsch.
Nebenbei:
es ist
> (1-[mm]\lambda) \*[/mm] (0 - [mm]\lambda)[/mm] - [mm](1\*1)[/mm]
[mm] =(1-\lambda)*(-\lambda) [/mm] -1*1.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:32 Sa 30.05.2009 | | Autor: | Help23 |
Ohhhh, vielen vielen Dank.....manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nich 
LG Help 23
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:40 Sa 30.05.2009 | | Autor: | Help23 |
Jetzt hab ich doch nochmal ne Frage....
Mein Polynom wäre dann ja
- [mm] \lambda [/mm] + [mm] \lambda^2 [/mm] - 1
das ändert dann doch aber nix an meinen Werten für p und für q?????
*Auf dem Schlauch steh*
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Hallo nochmal,
> Jetzt hab ich doch nochmal ne Frage....
>
> Mein Polynom wäre dann ja
>
> - [mm]\lambda[/mm] + [mm]\lambda^2[/mm] - 1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> das ändert dann doch aber nix an meinen Werten für p und
> für q?????
Da warst du einen Tick zu schnell für mich oder ich zu langsam 
siehe dazu die andere Antwort ...
>
> *Auf dem Schlauch steh*
LG
schachuzipus
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Hallo Help,
das falsche Vorzeichnen macht dir zwar das char. Polynom kaputt, hatte aber keinen Einfluss auf deine Berechnung der Nullstellen.
Der Fehler dort ist, dass du das zwar richtig aufgestellt hast, beim Zusammenrechnen aber auf magische Weise die Wurzel hast verschwinden lassen.
Es ergibt sich [mm] $\lambda_{1,2}=0,5\pm\red{\sqrt{0.25+1}}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{1}{2}\cdot{}(1\pm\sqrt{5})$
[/mm]
LG
schachuzipus
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