Eigenwerte und Norm < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:55 Di 19.05.2015 | | Autor: | muritane |
| Aufgabe | Zeigen Sie die Gleichung [mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel [/mm] = [mm] \wurzel[2]{\lambda_{max}(A^{t}A)} [/mm] fur A [mm] \in R^{n \times m}. [/mm] Dabei ist [mm] \lambda_{max}(B) [/mm] = [mm] max_{ \lambda \in \sigma (B)}|\lambda| [/mm] der betragsmäßig größte Eigenwert einer Matrix B [mm] \in R^{n \times n}.
[/mm]
[mm] \parallel [/mm] A [mm] \parallel [/mm] - die euklidische Norm |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hat jemand einen Tipp für mich? Ich bin dankbar für jede Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:18 Mi 20.05.2015 | | Autor: | fred97 |
Ich zeig Dir mal die "Hälfte":
Es ist
$||A||= [mm] \max \{||Ax||_2:||x||_2=1\}$, [/mm]
wobei [mm] ||*||_2 [/mm] die eukl. Norm auf [mm] \IR^n [/mm] bzw. [mm] \IR^m [/mm] bezeichne. Mit (*|*) bez. ich das Skalarprodukt.
Sei nun [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von $ A^tA$. Es ex. also ein x mit [mm] ||x||_2=1 [/mm] und $A^tAx= [mm] \lambda [/mm] x$. Somit:
[mm] $\lambda= \lambda ||x||_2= \lambda (x|x)=(\lambda x|x)=(A^tAx|x)=(Ax|Ax)=||Ax||^2_2 \le ||A||^2$.
[/mm]
Damit haben wir: [mm] $\wurzel{\lambda} \le [/mm] ||A||$. Es folgt:
$ [mm] \wurzel[]{\lambda_{max}(A^{t}A)} \le [/mm] ||A|| $
FRED
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