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Eigenwerte/vektoren: Aufgaben
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:46 Sa 22.03.2014
Autor: dodo1924

Aufgabe 1
Sei A eine nxn Matrix mit n unterschiedlichen Eigenwerten. Zeige, dass A diagonalisierbar ist!

Aufgabe 2
Seien A und B quadratische Matrizen. Zeige, das AB und BA die selben Eigenwerte besitzen. (Verwende die Eigenschaft, dass das Produkt nichtsingulärer Matrizen nichtsingulär ist)

Zu 1)
Ich habe in einem vorherigen Beispiel schon gezeigt, dass die zu unterschiedlichen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren linear unabhängig sind.
Hier habe ich n unterschiedliche Eigenwerte, also auch n Eigenvektoren, die linear unabhängig sind.
Sei [mm] \beta:= [/mm] die Menge dieser Eigenvektoren
Sei La(v) = A*v eine lin.Abbildung!
Diese Eigenvektoren bilden nun eine Basis von La, also ist La nach einem Satz aus der Vorlesung diagonalisierbar!
Da aber La diagonalisierbar ist, ist auch A diagonalisierbar!

Hier frage ich mich nur, woher ich genau weiß, dass [mm] \beta [/mm] eine Basisi bildet?
Das Kriterium, dass die Vektoren l.u. sein müssen, ist erfüllt.
Aber woher weiß ich, dass [mm] <\beta> [/mm] = La??

Zu Aufgabe 2)
Hier wollte ich erstmals um einen Ansatz fragen!
Gehe ich am besten mit dem charakteristischen Polynom vor?
Oder verknüpfe ich die beiden lin.Abbildungen La(v) = A*v und Lb(v) = B*v??

Danke im Vorraus!

        
Bezug
Eigenwerte/vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:36 Sa 22.03.2014
Autor: angela.h.b.


> Sei A eine nxn Matrix mit n unterschiedlichen Eigenwerten.
> Zeige, dass A diagonalisierbar ist!
>  Seien A und B quadratische Matrizen. Zeige, das AB und BA
> die selben Eigenwerte besitzen. (Verwende die Eigenschaft,
> dass das Produkt nichtsingulärer Matrizen nichtsingulär
> ist)
>  Zu 1)
>  Ich habe in einem vorherigen Beispiel schon gezeigt, dass
> die zu unterschiedlichen Eigenwerten gehörenden
> Eigenvektoren linear unabhängig sind.

Hallo,

> Hier habe ich n unterschiedliche Eigenwerte, also auch n
> Eigenvektoren, die linear unabhängig sind.

Genau.
A ist ja eine [mm] n\times [/mm] n-Matrix, beschreibt also einen Endomorphismus des [mm] K^n. [/mm]
Der [mm] K^n [/mm] ist n-dimensional,
und wenn Du nun n linear unabhängige Vektoren dieses Raumes gefunden hast, kan es nicht anders sein, als daß sie eine Basis bilden.
Damit ist Deine unten gestellte Frage beantwortet.

>  Sei [mm]\beta:=[/mm] die Menge dieser Eigenvektoren
>  Sei La(v) = A*v eine lin.Abbildung!
>  Diese Eigenvektoren bilden nun eine Basis von La,

Ganz sicher nicht! [mm] L_A [/mm] ist doch eine Abbildung. Abbildungen haben keine Basis.
Aber es ist [mm] L_A: K^n\to K^n, [/mm] und [mm] \beta [/mm] ist eine Basis des [mm] K^n [/mm] aus Eigenvektoren von [mm] L_A. [/mm]

> also ist
> La nach einem Satz aus der Vorlesung diagonalisierbar!
>  Da aber La diagonalisierbar ist, ist auch A
> diagonalisierbar!

Genau.

>  
> Hier frage ich mich nur, woher ich genau weiß, dass [mm]\beta[/mm]
> eine Basisi bildet?

s.o.

>  Das Kriterium, dass die Vektoren l.u. sein müssen, ist
> erfüllt.
>  Aber woher weiß ich, dass [mm]<\beta>[/mm] = La??

s. o.

Deine Basis spannt nicht die Abbildung [mm] L_A [/mm] auf, sondern den VR [mm] K^n. [/mm]


>  
> Zu Aufgabe 2)
>  Hier wollte ich erstmals um einen Ansatz fragen!
>  Gehe ich am besten mit dem charakteristischen Polynom
> vor?
>  Oder verknüpfe ich die beiden lin.Abbildungen La(v) = A*v
> und Lb(v) = B*v??

Die Frage nach einem "Ansatz" find' ich immer schwierig bis unverständlich.
Wir wollen ja keinen Sauerteig machen, sondern einen Beweis führen.
Da gibt's nicht immer ein Rezept...

Für den EW [mm] \lambda=0 [/mm] kannst Du Dir die Sache selbst überlegen.

Sei nun [mm] \lambda\not=0 [/mm] ein EW von AB.
Dann gibt es ein [mm] v\not=0 [/mm] mit [mm] ABv=\lambda [/mm] v.

Tip: betrachte mal v':=Bv und zeige, daß das ein EV von BA zum EW [mm] \lambda [/mm] ist.

LG Angela


>  
> Danke im Vorraus!


Bezug
                
Bezug
Eigenwerte/vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:00 So 23.03.2014
Autor: dodo1924

Hallo!
Falls eine der beiden Matrizen den EW [mm] \lambda [/mm] = 0 hat, hat ja automatisch auch AB bzw BA den EW [mm] \labmda [/mm] = 0, dh. [mm] \exists \lambda [/mm] = 0 mit AB*v = [mm] \lambda [/mm] * v = BA * v = 0
Oder?

Nach deine Definition von v' komme ich auf folgende Umformung:
Sei AB * v = [mm] \lambda [/mm] * v
[mm] \lambda \not= [/mm] 0, v [mm] \not= [/mm] 0, lambda EW von AB

Sei nun w EV [mm] \not= [/mm] 0 von BAbeliebig, w:=Bv
BA * w  [mm] =\lambda [/mm] * w = [mm] \lambda [/mm] * B * v = [mm] \lambda [/mm] * (Bv) = [mm] \lambda [/mm] * w
Also ist [mm] \lambda [/mm] auch EW von BA
Richtig?


Bezug
                        
Bezug
Eigenwerte/vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:24 So 23.03.2014
Autor: hippias


> Hallo!
>  Falls eine der beiden Matrizen den EW [mm]\lambda[/mm] = 0 hat, hat
> ja automatisch auch AB bzw BA den EW [mm]\labmda[/mm] = 0, dh.
> [mm]\exists \lambda[/mm] = 0 mit AB*v = [mm]\lambda[/mm] * v = BA * v = 0

Meiner Vorrednerin wird das vermutlich - abgesehen von dem [mm] $\exists \lambda [/mm] = 0$ - klar sein. Aber ist es auch Dir klar?

>  Oder?
>  
> Nach deine Definition von v' komme ich auf folgende
> Umformung:
>  Sei AB * v = [mm]\lambda[/mm] * v
>  [mm]\lambda \not=[/mm] 0, v [mm]\not=[/mm] 0, lambda EW von AB
>  
> Sei nun w EV [mm]\not=[/mm] 0 von BAbeliebig, w:=Bv
>  BA * w  [mm]=\lambda[/mm] * w = [mm]\lambda[/mm] * B * v = [mm]\lambda[/mm] * (Bv) =
> [mm]\lambda[/mm] * w
>  Also ist [mm]\lambda[/mm] auch EW von BA
>  Richtig?
>  

Ich verstehe komplett kein Wort:Du faengst mit $v'$ an, selbiges taucht aber nie mehr auf. Wo geht denn Dein Beweis los?  Was soll denn

> Sei nun w EV [mm]\not=[/mm] 0 von BAbeliebig, w:=Bv

bedeuten? Ist $w$ nun beliebiger EV oder definiert als $Bv$? Begruende bitte einmal die Gleichheitszeichen in

>  BA * w  [mm]=\lambda[/mm] * w


Bezug
                                
Bezug
Eigenwerte/vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:40 So 23.03.2014
Autor: dodo1924

Oh...sorry ^^
Hab leider wirklich etwas verwirrt geschrieben!
Hab irgendwie während ich geschrieben habe das v' mit w ausgetauscht!
Also es gilt: v' = w

w ist definiert als B*v, wobei v EV von AB und w EV von BA ist!

Also gilt:
AB * v = [mm] \lambda [/mm] * v
BA * w = BA*B*v = B *(AB) * v = B * [mm] \lambda [/mm] * v = [mm] \lambda [/mm] * B*v = [mm] \lambda [/mm] * w
Also ist [mm] \lambda [/mm] EW von AB und von BA

Bezug
                                        
Bezug
Eigenwerte/vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:47 So 23.03.2014
Autor: hippias


> Oh...sorry ^^
>  Hab leider wirklich etwas verwirrt geschrieben!
>  Hab irgendwie während ich geschrieben habe das v' mit w
> ausgetauscht!
>  Also es gilt: v' = w
>  
> w ist definiert als B*v, wobei v EV von AB und w EV von BA
> ist!

Das ist genau der Punkt: Entweder setzt Du $w$ als EV voraus: dann waere die Frage, weshalb $w= Bv$ gelten sollte; besonders, wenn $v$ schon ein bel. EV ist. Oder Du definierst $w$ als $Bv$, musst dann aber nachweisen, weshalb das EV von $BA$ ist.

>  
> Also gilt:
>  AB * v = [mm]\lambda[/mm] * v
>  BA * w = BA*B*v = B *(AB) * v = B * [mm]\lambda[/mm] * v = [mm]\lambda[/mm]
> * B*v = [mm]\lambda[/mm] * w
>  Also ist [mm]\lambda[/mm] EW von AB und von BA


Bezug
                                                
Bezug
Eigenwerte/vektoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:50 So 23.03.2014
Autor: dodo1924

Achso!

Das heißt, ich kann einfach nachweisen, wenn ich w als B*v definiere, dass w ein Eigenvektor von BA ist, weil ja BA*w =...= [mm] \lambda [/mm] * w gilt!
Also ist auch [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von BA!

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