Eigenwerte von Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sei A [mm] \in M_n(\IR) [/mm] und [mm] A^t=-A. [/mm] Zeigen Sie, dass alle Eigenwerte von [mm] A^2 [/mm] rein imaginär sind. |
Hallo. Habe ein kleines Problem bei dieser Aufgabe, und zwar weiß ich nicht genau, wie ich dieses [mm] A^2 [/mm] ins Spiel bringen soll.
Mein Ansatz:
Sei A eine quadr. Matrix mit Skalarprodukt s. Sei [mm] \lambda [/mm] ein EW von A zum EV [mm] v\not=0 \in [/mm] A. Dann gilt:
[mm] s(v,v)=v^t*A*v=\lambda=<\lambda*v,v>======\overline{-\lambda}=\overline{s(v,v)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda [/mm] = [mm] \overline{-\lambda}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda [/mm] = [mm] \overline{-\lambda}
[/mm]
So, hiermit müsste doch eigentlich gezeigt sein, dass A rein imaginäre EW hat, oder?
Aber wie gesagt, weiß nicht an welcher Stelle ich [mm] A^2 [/mm] einsetzen muss.
Danke für Hilfe.
Gruß
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:14 Di 20.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Sei A [mm]\in M_n(\IR)[/mm] und [mm]A^t=-A.[/mm] Zeigen Sie, dass alle
> Eigenwerte von [mm]A^2[/mm] rein imaginär sind.
> Hallo. Habe ein kleines Problem bei dieser Aufgabe, und
> zwar weiß ich nicht genau, wie ich dieses [mm]A^2[/mm] ins Spiel
> bringen soll.
>
> Sei A eine quadr. Matrix mit Skalarprodukt s. Sei [mm]\lambda[/mm]
> ein EW von A zum EV [mm]v\not=0 \in[/mm] A. Dann gilt:
>
> [mm]s(v,v)=v^t*A*v=\lambda=<\lambda*v,v>======\overline{-\lambda}=\overline{s(v,v)}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \lambda[/mm] = [mm]\overline{-\lambda}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \lambda[/mm] = [mm]\overline{-\lambda}[/mm]
>
> So, hiermit müsste doch eigentlich gezeigt sein, dass A
> rein imaginäre EW hat, oder?
im prinzip ja, wobei mir ein paar rechenschritte unklar sind, aber ich vermute das sind nur tippfehler (schau nochmal auf das 5te und 10te gleichheitszeichen in deiner gleichungskette). das letzte argument könnte man vielleicht noch etwas ausführen in dem man [mm] $\lambda [/mm] = x + iy$ setzte und zeigt, dass $x = 0$, aber das wäre nur einsetzen.
> Aber wie gesagt, weiß nicht an welcher Stelle ich [mm]A^2[/mm]
> einsetzen muss.
das sehe ich auch nicht. probiere mal zu zeigen, dass [mm] $A^2$ [/mm] symmetrisch ist. was weißt du über die eigenwerte symmetrischer matrizen? kann die aufgabe dann so stimmen?
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
hi, danke erstmal.
du meinst das 5te und 10te Gleichheitszeichen?
[mm] s(v,v)=v^t\cdot{}A\cdot{}v=\lambda=<\lambda\cdot{}v,v>======\overline{-\lambda}=\overline{s(v,v)}
[/mm]
bei dem 5ten meinst du wohl diese stelle oder?
[mm] =, [/mm] hier habe ich einfach die Symmetrie des Skalarproduktes ausgenutzt, was ja eigentlich auch erlaubt sein müsste.
bei dem darauf folgenden Schritt [mm] = [/mm] ich denke, hier habe ich einen kleinen fehler, da ja bei schiefsym. Matrizen gar nicht [mm] A=A^t [/mm] gilt, dies gilt ja nur bei sym. Matrizen. Nur ich wusste nicht genau, wie ich da sonst ein transponiert reinbekomme, da bräuchte ich eventuell nochmal unterstüzung.
und bei der 10ten Stelle, ist wohl der Schluss gemeint.
[mm] \overline{-\lambda}=-\overline{s(v,v)}
[/mm]
ich hatte ja ganz am anfang [mm] s(v,v)=v^t\cdot{}A\cdot{}v=\lambda, [/mm] deswegen dachte dich, dass der letzte Schritt auch so sein müsste. aber da fehlt wohl ein -.
und zuletzt, wenn [mm] A^2 [/mm] sym. ist, dann hat die Matrix natürlich nur reelle EW. Ich denke in der Aufgabe befindet sich ein kleiner Tippfehler. soll bestimmt nur A heißen und nicht [mm] A^2.
[/mm]
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Di 20.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> du meinst das 5te und 10te Gleichheitszeichen?
>
> [mm]s(v,v)=v^t\cdot{}A\cdot{}v=\lambda=<\lambda\cdot{}v,v>======\overline{-\lambda}=\overline{s(v,v)}[/mm]
>
>
> bei dem 5ten meinst du wohl diese stelle oder?
>
> [mm]=,[/mm] hier habe ich einfach die
> Symmetrie des Skalarproduktes ausgenutzt, was ja eigentlich
> auch erlaubt sein müsste.
ok, so kann man das natürlich begründen. aber wie begründest du dann das nächste gleichheitszeichen? ich denke hier einfach die symmetrie des skalarproduktes auszunutzen ist nicht unbedingt hilfreich. verwende lieber, dass für das standardskalarprodukt gilt [mm] $\left< x, y\right> [/mm] = x^ty$
> bei dem darauf folgenden Schritt
> [mm]=[/mm] ich denke, hier habe ich
> einen kleinen fehler, da ja bei schiefsym. Matrizen gar
> nicht [mm]A=A^t[/mm] gilt, dies gilt ja nur bei sym. Matrizen. Nur
> ich wusste nicht genau, wie ich da sonst ein transponiert
> reinbekomme, da bräuchte ich eventuell nochmal
> unterstüzung.
siehe obiger hinweis.
> und bei der 10ten Stelle, ist wohl der Schluss gemeint.
>
> [mm]\overline{-\lambda}=-\overline{s(v,v)}[/mm]
>
> ich hatte ja ganz am anfang
> [mm]s(v,v)=v^t\cdot{}A\cdot{}v=\lambda,[/mm] deswegen dachte
> dich, dass der letzte Schritt auch so sein müsste. aber da
> fehlt wohl ein -.
ja. aber ich denke diese umformung ist völlig unnötig. lasse doch einfach den allerersten und letzten term deiner gleichungskette weg. für was brauchst du dieses $s$? mit hilfe dessen kannst du doch auf keine eigenschaft von [mm] $\lambda$ [/mm] schließen.
> und zuletzt, wenn [mm]A^2[/mm] sym. ist, dann hat die Matrix
> natürlich nur reelle EW. Ich denke in der Aufgabe befindet
> sich ein kleiner Tippfehler. soll bestimmt nur A heißen und
> nicht [mm]A^2.[/mm]
denke ich auch.
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
hi, nochmal eine kleine frage.
also meinst du, ich soll den einen schritt einfach so aufschreiben, also nicht so: [mm] ===
[/mm]
sondern:
[mm] == [/mm] mit der Begründung des Standardskalarprodukt und seiner Symmetrie ( für standardskalarprodukt gilt [mm] \left< x, y\right> [/mm] = [mm] x^ty=y^tx=\left< y, x\right>)
[/mm]
gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Di 20.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> also meinst du, ich soll den einen schritt einfach so
> aufschreiben, also nicht so:
> [mm]===[/mm]
das zweite gleichheitszeichen ist wie gesagt falsch: also so lieber nicht aufschreiben.
> sondern:
>
> [mm]==[/mm] mit der
> Begründung des Standardskalarprodukt und seiner Symmetrie (
> für standardskalarprodukt gilt [mm]\left< x, y\right>[/mm] =
> [mm]x^ty=y^tx=\left< y, x\right>)[/mm]
dies kannst du im prinzip ja gleich in die gleichheitskette mit einbeziehen. es ist [mm] $\left< Av, v \right> [/mm] = (Av)^tv = v^tA^tv = [mm] v^t(A^tv) [/mm] = [mm] \left< v, A^tv\right> [/mm] = [mm] \left< v, -Av \right>$ [/mm] nach regeln für das transponieren von matrizen.
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:03 Di 20.05.2008 | | Autor: | jaruleking |
Ok, besten dank.
Gruß
|
|
|
|
