Ein angeordneter Körper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 So 28.11.2010 | | Autor: | FGB |
| Aufgabe | Sei (K, +, · , ≤ ) ein angeordneter Körper. Zeigen Sie, dass
(a) Für alle a ∈ K mit a > 0 gilt − a < 0.
(b) Für alle a ∈ K gilt a² ≥ 0. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
ich soll zeigen, dass (a) für alle a Element von K mit a > 0 gilt, dass -a < 0 ist.
Ich stelle mir das eigentlich sehr einfach vor, jedoch traue ich meiner kurzen "Lösung" nicht wirklich.
Mein Ansatz (a):
-a ist doch das Inverse zu a. Sprich a + (-a) müsste doch 0 sein. Wenn jetzt a > 0 ist, muss doch daraus folgern, dass -a < 0 ist, sofern natürlich a [mm] \not= [/mm] 0 ist.
Ich traue meinen Ansatz einfach nicht, da ich so etwas ja grundsätzlich zeigen könnte, also egal ob es ein Körper oder einfach nur "Zahlen" sind.
Für Aufgabenstellung b dachte ich einfach:
a * a = a². Egal ob a > 0, oder < 0 ist, a² ist immer > 0.
Aber das ist mathematisch gesehen sicherlich nicht ausreichend. Mir fehlt hier eine Idee das richtig zu zeigen.
Hätte mir jemand einen Tipp? Ich wäre euch sehr dankbar für einen Denkanstoß.
Grüße und noch einen schönen Sonntag Abend,
Felix
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:26 Mo 29.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Felix!
> Sei (K, +, · , ≤ ) ein angeordneter Körper. Zeigen Sie,
> dass
> (a) Für alle a ∈ K mit a > 0 gilt − a < 0.
> (b) Für alle a ∈ K gilt a² ≥ 0.
>
> ich soll zeigen, dass (a) für alle a Element von K mit a >
> 0 gilt, dass -a < 0 ist.
> Ich stelle mir das eigentlich sehr einfach vor, jedoch
> traue ich meiner kurzen "Lösung" nicht wirklich.
Da hast du auch Recht mit. So etwas soll ueber Axiome gezeigt werden. Du musst mit den Axiomen, die ihr habt, arbeiten, und daraus die Aussagen herleiten. (Du darfst natuerlich Aussagen aus der Vorlesung, die ihr dort schon bewiesen hattet, ebenfalls verwenden und nicht nur die Axiome.)
Da wir allerdings nicht wissen, was ihr an Axiomen und Aussagen hattet, koennen wir dir so direkt erstmal nicht helfen (es sei denn du verraetst uns welche ihr hattet)..
Ein moegliches Axiom (oder Aussage) lautet zum Beispiel: "Gilt $a [mm] \le [/mm] b$, so auch $a + c [mm] \le [/mm] b + c$"
Und ein weiteres kann moeglicherweise lauten: "Gilt $0 [mm] \le [/mm] a$ und $0 [mm] \le [/mm] b$, so auch $0 [mm] \le [/mm] a b$"
(Das sind die Axiome von ![[]](/images/popup.gif) hier; es kann aber gut sein, dass ihr andere hattet.)
Ist jetzt etwa $0 [mm] \le [/mm] a$, so folgt aus dem ersten $0 + -a [mm] \le [/mm] a + -a$, also $-a [mm] \le [/mm] 0$. Und ist $a [mm] \neq [/mm] 0$, so auch $-a [mm] \neq [/mm] 0$. Daraus folgt: ist $0 < a$, so auch $-a < 0$.
So, jetzt bist du dran.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:17 Mo 29.11.2010 | | Autor: | FGB |
Hallo Felix!
ERst einmal vielen Dank!
Du hast recht, wir haben die Aussage, dass
Für alle a,b,c [mm] \in [/mm] K : a <= b => a+c <= b+c
und
Für alle a,b,c [mm] \in [/mm] K : (a <= b und 0k <= c) => ac <= bc
Ich versuche gerade anhand der ersten Aussage die Aufgabe a zu zeigen.
Hmmm
Vielleicht wenn ich sage,
-a <= a <= b. Daraus irgendwie folgern,
dass 0 + (-a) < 0 + a ist. Somit ist 0 [mm] \not= [/mm] a und -a < 0 und a > 0.
Aber ausreichend gezeigt ist das ja auch nicht. Ich probiere noch weiter rum. Schon einmal vielen Dank!
// Nachtrag:
Wenn ich sage, a+c <= b+c, und ich sage, a+(-a)=0 (inverse),
dann müsste doch, sofern ich das inverse hinzuaddiere (sofern das geht)
a+(-a)+c<=b+(-a)+c = 0+c<=b-a+c.
Das stimmt ja so, glaub ich.
Wenn ich durch Widerspruch sage, -a > 0, dann stimmt das doch nicht mehr:
a+(-a)+c<=b+(-a)+c -> hier ist a+(-a) [mm] \not= [/mm] null oder?
Mein Tutor versucht das zu erklären ... aber ich blicke es nicht :-8(
// Nachtrag 2:
Ich habe es nochma lversucht durch Widerspruch: -a > 0
Für alle a,b,c [mm] \in [/mm] K a+b <= b+c
Wenn -a > 0, dann 0+0<a+(-a)
Dann a+(-a) = 0 (def von inversen), stimmt das nicht.
Also stimmt es nicht, dass -a > 0 ist.
Reicht das?
Hänge auch gerade an der b. Komme einfach nicht drauf. Tue mich da so schwer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:23 Mi 01.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
