Ein paar Aufgaben < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich hab da ein Blatt von einem alten Test. Es ist ein Test aus einem nationalen Test für 3 Klassen unter mich. Hab bemerkt, dass ich da keine Ahnung habe und dachte ihr könnt mir paar Tipps für den Anfang geben. Ich stell ma 2 Aufgaben rein.
1) Bestimme alle Lösungen in natürlichen Zahlen der Gleichung
ab+bc+ca=2(a+b+c)
2)Sei g eine Gerade in der Ebene. Die Kreise k1 und k2 liegen auf derselben Seite von g und berühren g in den Punkten A respektive B. Ein weiterer Kreis k3 brühre k1 in D und k2 in C. Beweise dass gilt:
(a) Das Viereck ABCD ist ein Sehenviereck
(b) Die Geraden BC und AD schneiden sich auf k3.
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> 2)Sei g eine Gerade in der Ebene. Die Kreise k1 und k2
> liegen auf derselben Seite von g und berühren g in den
> Punkten A respektive B. Ein weiterer Kreis k3 berühre k1 in
> D und k2 in C. Beweise dass gilt:
>
> (a) Das Viereck ABCD ist ein Sehenviereck
> (b) Die Geraden BC und AD schneiden sich auf k3.
Hallo blackkilla,
mach dir dazu zuerst eine (gute, nicht zu kleine)
Zeichnung. Um zu zeigen, dass ABCD ein Sehnen-
viereck ist, müsste es einen Kreis k4 geben, der
alle diese Punkte enthält. Dessen Mittelpunkt
müsste also Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
aller 4 Seiten von ABCD sein. Versuche also nach-
zuweisen, dass sich diese Mittelsenkrechten tat-
sächlich in einem gemeinsamen Punkt treffen
müssen. Vermutlich sind weitere Hilfslinien in
der Zeichnung nützlich, um dies zu erkennen.
Betrachte auch Winkel, die in der Figur entstehen.
LG
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Aber k3 berührt ja k1 und k2...Muss es da einen 4. Kreis geben. Ich kann mir das nicht vorstellen, wie k3 diese berühren soll, dass es ein Sehnendreieck ergibt.
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> Aber k3 berührt ja k1 und k2...Muss es da einen 4. Kreis
> geben. Ich kann mir das nicht vorstellen, wie k3 diese
> berühren soll, dass es ein Sehnendreieck ergibt.
ABCD ist ein Sehnenviereck und k4 dessen Umkreis.
So kann das z.B. aussehen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
LG Al-Chw.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Vielen Dank für die Zeichnung. Reicht diese Zeichnung als Beweis?
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> Vielen Dank für die Zeichnung. Reicht diese Zeichnung als
> Beweis?
Nein, keineswegs ! Die Zeichnung ist nur als Hilfe gedacht,
und du wolltest ja wissen, wie man sich diesen 4.Kreis
vorstellen muss. Ein Viereck ist eben genau dann ein
"Sehnenviereck", wenn es einen Umkreis hat, der durch
alle 4 Ecken geht.
Nun solltest du die Zeichnung studieren (wenn möglich
ausdrucken, damit du reinzeichnen Kannst) und dir
überlegen, warum unter den gegebenen Voraus-
setzungen etwa der Kreis durch A,B,C (also der Umkreis
des Dreiecks ABC) automatisch auch durch D gehen
muss. Von D darfst du dabei nur verwenden, dass dies
der Berührungspunkt der Kreise k1 und k3 ist.
LG
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Hat nicht jedes Viereck einen solchen Umkreis? Ich hab echt keine Ahnung wie ich das beweisen soll....
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> Hat nicht jedes Viereck einen solchen Umkreis?
Nein, natürlich nicht. Sind drei Punkte A,B,C in
nicht spezieller Lage gegeben, so gibt es einen,
aber auch nur einen Kreis k, der durch diese 3
Punkte geht. Soll also ein Viereck ABCD einen
Umkreis haben, so darf man D nicht irgendwo
hin setzen, sondern muss ihn auf dem durch
die ersten drei Punkte bestimmten Kreis k liegen.
Bei einem zufällig irgendwo angenommenen Punkt D
ist die Chance, dass es einen Umkreis für das Vier-
eck geben wird also praktisch gleich Null !
> Ich hab echt keine Ahnung wie ich das beweisen soll....
Weißt du, wie man den Umkreismittelpunkt eines
Dreiecks konstruiert ? Tue das auf einem Ausdruck
der Zeichnung.
Betrachte dann z.B. einmal das Viereck $\ M_4BM_2C$ .
Welche Eigenschaften hat es ? Schau dir dann das
Dreieck $\ [mm] M_4CM_3$ [/mm] an und zeige, dass das Dreieck
$\ [mm] M_4DM_3$ [/mm] dazu kongruent sein muss - dabei darfst
du aber nicht die (in der Zeichnung zwar zu
sehende) Eigenschaft verwenden, dass der Punkt D
auf dem Kreis k4 liegt. Du sollst ja - aus den
übrigen Voraussetzungen - beweisen, dass D eben-
falls auf k4 liegen muss.
LG Al-Chw.
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Umkreismittelpunkt? Man nimmt die Mitte einer Seite und zieht dann jeweils rechtwinklig eine Linie gen Mitte?
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> Umkreismittelpunkt? Man nimmt die Mitte einer Seite und
> zieht dann jeweils rechtwinklig eine Linie gen Mitte?
Genau. Den Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC erhältst
du also als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der beiden
Seiten AB und BC. Auch die Mittelsenkrechte von AC geht
dann bestimmt auch durch diesen Schnittpunkt. Es ist
eine gute Vorübung zur vorliegenden Aufgabe, wenn du
dir klar machst, weshalb dies sein muss.
Und nachher zu den Überlegungen betr. Punkt D (wie
schon erläutert) !
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 So 10.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Ich hab da ein Blatt von einem alten Test. Es ist ein Test
> aus einem nationalen Test für 3 Klassen unter mich. Hab
> bemerkt, dass ich da keine Ahnung habe und dachte ihr
> könnt mir paar Tipps für den Anfang geben. Ich stell ma 2
> Aufgaben rein.
>
> 1) Bestimme alle Lösungen in natürlichen Zahlen der
> Gleichung
>
>
> ab+bc+ca=2(a+b+c)
Hallo,
in der Regel sind Produkte natürlicher Zahlen größer als Summen mit diesen Zahlen.
Ich würde eine Fallunterscheidung vorschlagen:
Fall 1: a=b=c
Fall 2: a=b
Fall 3: a>b>c (natürlich sind da Vertauschungen möglich)
Aus Fall 1 folgt [mm] 3a^2=6a...
[/mm]
Aus Fall 2 folgt [mm] a^2+2ac=4a+2c [/mm] bzw. [mm] a^2+(2c-4)a-2c=0, [/mm] dort sollte man sich mal die Lösung der qu. Gl. ansehen...
Im Fall 3 gilt für a>b>c>1 folgendes:
ab>2a
[mm] bc\ge [/mm] 2b
ac> 2c.
Dann ist die Summe der linken Terme größer als die der rechten Terme.
Hier sind nur die Unterfälle c=1 und c=0 getrennt zu betrachten.
Gruß Abakus
>
> 2)Sei g eine Gerade in der Ebene. Die Kreise k1 und k2
> liegen auf derselben Seite von g und berühren g in den
> Punkten A respektive B. Ein weiterer Kreis k3 brühre k1 in
> D und k2 in C. Beweise dass gilt:
>
> (a) Das Viereck ABCD ist ein Sehenviereck
> (b) Die Geraden BC und AD schneiden sich auf k3.
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Hallo blackkilla,
es gibt sicher mehrere Möglichkeiten für Aufgabe 1.
Ich habe anders angefangen als abakus:
[mm] ab+bc+ca=2(a+b+c)\quad \gdw \quad ab-2a+bc-2b+ca-2c=\blue{a(b-2)+b(c-2)+c(a-2)=0}
[/mm]
Der blaue Teil ist nun eine sehr einfach zu untersuchende Gleichung.
Eine Summe ist Null, wenn entweder alle Summanden Null sind (was direkt zu einer Lösung führt) oder sie sich gegenseitig aufheben. Dazu muss es positive und negative Summanden geben.
Hieraus kannst Du folgern, dass für eine solche Lösung eine oder zwei der gesuchten Zahlen 1 sein müssen.
Da die Aufgabe ja absolut symmetrisch ist - man kann a,b,c_ beliebig vertauschen und es bleibt die gleiche Aufgabe - reicht es völlig, für die beiden zu untersuchenden Fälle anzunehmen, dass
1) [mm]a=1[/mm] und [mm] b,c\not=1 [/mm] oder
2) [mm]a,b=1[/mm] und [mm] c\not=1 [/mm] ist
Fall 1 führt Dich zu einer Lösung (bzw. zwei, nur mit vertauschtem b und c), Fall 2 ist nicht lösbar.
Damit hast Du dann zwei Lösungen (die eine von oben, alle Summanden werden Null), oder, wenn Vertauschungen mitzählen, genau sieben. Und Du kannst sicher sagen, dass es auch keine weiteren gibt.
Mir scheint das noch einfacher als der Weg, den abakus geht, aber nicht viel.
Für die Mittelstufe ist die Aufgabe jedenfalls nicht einfach, denn wenn man keinen guten Ansatz findet, kann die Aufgabe auch sehr mühsam werden.
lg
reverend
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