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Forum "Integrationstheorie" - Einbettungen von Lp-Räumen
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Einbettungen von Lp-Räumen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:36 Mi 11.02.2009
Autor: Scholli

Moin,

ich versuche grade zu ergründen, welche Lp-Räume sich jetzt wie ineinander einbetten.

Frage 1:
Die allgemeinste Aussage dazu habe ich bisher im englischen Wiki-Artikel zu []Lp spaces gefunden, allerdings verstehe ich sie nicht ganz:

Was ist mit "iff S does not contain sets of arbitrarily large measure" gemeint? Dass keine (echte?) Teilmenge von S das Maß unendlich haben darf?

Und was ist dann mit "iff S does not contain sets of arbitrarily small measure" gemeint? Ein unendliche kleines Maß gibt's ja wohl nicht, null ist doch das Kleinste.

Frage 2:
Im deutschen Wiki-Artikel zum []Lp-Raum habe ich eine Aussage für endliche Maße gefunden. Ich nehme an, das Lebesgue-Maß über \IR^n ist nicht endlich, weil \lambda (\IR^n ) = \infty, stimmt das?

Frage 3:
Das Lebesgue-Maß ist lokal \sigma- endlich, ist es eigentlich auch \sigma-endlich?

Vielen Dank für Hinweise!
Gruß scholli

        
Bezug
Einbettungen von Lp-Räumen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:34 Do 12.02.2009
Autor: felixf

Moin!

> ich versuche grade zu ergründen, welche Lp-Räume sich jetzt
> wie ineinander einbetten.
>
> Frage 1:
>  Die allgemeinste Aussage dazu habe ich bisher im
> englischen Wiki-Artikel zu
> []Lp spaces
> gefunden, allerdings verstehe ich sie nicht ganz:
>  
> Was ist mit "iff S does not contain sets of arbitrarily
> large measure" gemeint? Dass keine (echte?) Teilmenge von S
> das Maß unendlich haben darf?

Erstmal: iff ist eine Abkuerzung fuer if and only if (genau dann wenn). Falls du das nicht schon wusstest :)

Erstmal ist damit gesagt, dass es ein $C > 0$ geben muss mit [mm] $\mu(U) \le [/mm] C$ fuer alle messbaren Teilmengen $U$ von $S$. Das bedeutet allerdings nichts anderes, als dass [mm] $\mu(S) [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] ist, also das Mass endlich ist. Oder anders gesagt: es gibt keine messbare Teilmenge von $S$, deren Mass unendlich ist.

Das Lebesgue-Mass auf [mm] $\IR^n$ [/mm] erfuellt dies nicht, das auf $[a, b]$ allerdings schon.

> Und was ist dann mit "iff S does not contain sets of
> arbitrarily small measure" gemeint? Ein unendliche kleines
> Maß gibt's ja wohl nicht, null ist doch das Kleinste.

Gemeint ist: es gibt ein $C > 0$ so, dass fuer jede messbare Teilmenge $U$ von $S$ entweder [mm] $\mu(U) [/mm] = 0$ oder [mm] $\mu(U) \ge [/mm] C$ ist.

Das Lebesgue-Mass auf [mm] $\IR^n$ [/mm] erfuellt dies nicht, das Lebesgue-Mass auf $[a, b]$ ebenfalls nicht.

> Frage 2:
>  Im deutschen Wiki-Artikel zum
> []Lp-Raum
> habe ich eine Aussage für endliche Maße gefunden. Ich nehme
> an, das Lebesgue-Maß über \IR^n ist nicht endlich, weil
> \lambda (\IR^n ) = \infty, stimmt das?

Genau.

> Frage 3:
>  Das Lebesgue-Maß ist lokal \sigma- endlich, ist es
> eigentlich auch \sigma-endlich?

Was genau ist ein lokal [mm] $\sigma$-endliches [/mm] Mass? Ich kenne nur [mm] $\sigma$-endliche [/mm] Masse, und das Lebesgue-Mass ist ein solches: [mm] $\IR^n$ [/mm] laesst sich als abzaehlbare Vereinigung von Mengen mit endlichem Mass schreiben, etwa von $[-m, [mm] m]^n$ [/mm] mit $m [mm] \in \IN$. [/mm]

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Einbettungen von Lp-Räumen: Def: lokal sigma-endliches Maß
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:47 Do 12.02.2009
Autor: Scholli

Cool, Danke dir! Über das iff hatte ich mich tatsächlich schon gewundert :)

> Was genau ist ein lokal [mm]\sigma[/mm]-endliches Mass?

In unserer Vorlesung wurde ein Maß \mu aus dem Maßraum (\IR^p, \mathcal{L}_p, \mu) lokal \sigma-endlich (auf \mathcal{L}_p) genannt, wenn für jede kompakte Menge K \subset \IR^p gilt: \mu(K) < \infty, wobei \mathcal{L}_p die Menge der Lebesgue-messbaren Mengen darstellt. ([]Skript, Seite 375)

Die komische Mischung aus einem beliebigem Maß \mu und den Lebesgue-messbaren Mengen \mathcal{L}_p rührt daher, dass der Begriff zum Beweis der Eindeutigkeit des Lebesgue-Maßes verwendet wird.

Bezug
                        
Bezug
Einbettungen von Lp-Räumen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:41 Do 12.02.2009
Autor: felixf

Hallo

> > Was genau ist ein lokal [mm]\sigma[/mm]-endliches Mass?
>  
> In unserer Vorlesung wurde ein Maß \mu aus dem Maßraum
> (\IR^p, \mathcal{L}_p, \mu) lokal \sigma-endlich (auf
> \mathcal{L}_p) genannt, wenn für jede kompakte Menge K \subset \IR^p
> gilt: \mu(K) < \infty, wobei \mathcal{L}_p die Menge der
> Lebesgue-messbaren Mengen darstellt.
> ([]Skript, Seite 375)

Ah, sowas hab ich schon vermutet :) Da [mm] $\IR^p$ [/mm] durch abzaehlbar viele kompakte Mengen abdeckbar ist, ist lokal [mm] $\sigma$-endlich [/mm] hier mit (global) [mm] $\sigma$-endlich [/mm] aequivalent.

LG Felix


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