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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Eindeutige Lösbarkeit

Eindeutige Lösbarkeit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe

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Eindeutige Lösbarkeit: Tipp, Korrektur

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	14:10 So 18.01.2009
Autor:	husbert

Aufgabe

 Für welche a ist das lineare Gleichungssystem eindeutig lösbar? Berechnen Sie im Falle der eindeutigen Lösbarkeit die Lösung mit der Cramer´schen Regel.

[mm] \pmat{ 1 & a & 1 \\ a & 1 & a \\ a& a&1 }*\pmat{ x\\y\\z }=\pmat{ 1\\a\\1 }
 [/mm]

Hi,

Als erste rechne ich die determinante aus:

[mm] \vmat{ 1 & a & 1 \\ a & 1 & a \\ a& a&1 } [/mm]

= [mm] a^3-a^2-a+1 [/mm]

Das LGS ist dann eindeutig lösbar wenn [mm] det(A)\not=0 [/mm] ist.
a=1 ist offenbar eine Nullstelle.
[mm] (a^2-1)(a-1) [/mm] sonst gibt es keine weiteren Nullstellen.
also:
a [mm] \in \IR [/mm] \ {1}
Cramersche Regel:

x= [mm] det\vmat{ 1 & a & 1 \\ a & 1 & a \\ 1& a&1 }/det(A)=0 [/mm]
y= [mm] det\vmat{ 1 & 1 & 1 \\ a & a & a \\ a& 1&1 }/det(A)=0 [/mm]

Bezug

Eindeutige Lösbarkeit: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	14:15 So 18.01.2009
Autor:	XPatrickX

> Für welche a ist das lineare Gleichungssystem eindeutig
> lösbar? Berechnen Sie im Falle der eindeutigen Lösbarkeit
> die Lösung mit der Cramer´schen Regel.
>  [mm]\pmat{ 1 & a & 1 \\ a & 1 & a \\ a& a&1 }*\pmat{ x\\y\\z }=\pmat{ 1\\a\\1 }[/mm]
>
>
>
> Hi,

Hallo!
>
> Als erste rechne ich die determinante aus:
>
> [mm]\vmat{ 1 & a & 1 \\ a & 1 & a \\ a& a&1 }[/mm]
>
> = [mm]a^3-a^2-a+1[/mm]

>
> Das LGS ist dann eindeutig lösbar wenn [mm]det(A)\not=0[/mm] ist.

> a=1 ist offenbar eine Nullstelle.
> [mm](a^2-1)(a-1)[/mm] sonst gibt es keine weiteren Nullstellen.

>  also:
>  a [mm]\in \IR[/mm] \ {1}
>  Cramersche Regel:
>
> x= [mm]det\vmat{ 1 & a & 1 \\ a & 1 & a \\ 1& a&1 }/det(A)=0[/mm]
>
> y= [mm]det\vmat{ 1 & 1 & 1 \\ a & a & a \\ a& 1&1 }/det(A)=0[/mm]

Was ist mit z? Es ist [mm] A_3=A [/mm] (wobei [mm] A_3 [/mm] die Matrix ist, in der die Dritte Spalte durch den Vektor auf der rechten Seite ersetzt wurde), also auch [mm] det(A_3)=det(A) [/mm] und somit z=...

Gruß Patrick

Bezug

Eindeutige Lösbarkeit: Frage (beantwortet)